Questões dissertativas de Matemática — Ensino Fundamental
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
6.947 questões com resposta esperada, explicação e raio-X pedagógico, alinhadas à BNCC.
✍️ Dissertativa
Prove de forma detalhada o critério LAL (lado-ângulo-lado) para semelhança: se em dois triângulos ABC e DEF vale AB/DE = AC/DF e ?A = ?D, então ABC ~ DEF. Apresente construção e argumento lógico.
✍️ Dissertativa
Considere os triângulos ABC e DEF com ?A = ?D = 50°, AB = x + 2, AC = 2x + 3, BC = 3x + 1, DE = 5 e DF = 8. Determine o valor de x para que ABC ~ DEF, verifique a semelhança por SAS, calcule a razão de semelhança e o…
✍️ Dissertativa
Seja o triângulo ABC com AB = 7, AC = 24 e ?A = 90°. Construa um triângulo DEF tal que ?D = 90° e DE/AB = DF/AC = 3/5. Calcule DE, DF e EF e prove que ABC ~ DEF.
✍️ Dissertativa
Nos triângulos ABC e DEF tem-se ?B = ?E, AB = 2x + 4, BC = 4x + 3, DE = 10 e EF = 15. (a) Determine o valor de x que torna ABC ~ DEF. (b) Prove a semelhança indicando o critério usado e a razão entre lados…
✍️ Dissertativa
Sejam ABC e DEF com ?B = ?E, AB = 12, BC = 16, AC = 20 e sabe-se que AB/DE = BC/EF = 4/7. Determine DE, EF e DF; prove que ABC ~ DEF e encontre a razão de semelhança.
✍️ Dissertativa
Demonstre que, se em dois triângulos ABC e DEF vale AB/DE = BC/EF e ?B = ?E, então ABC ~ DEF.
✍️ Dissertativa
Prove que os triângulos ABC e A'B'C' com A(0,0), B(6,0), C(0,8) e A'(0,0), B'(3,0), C'(0,4) são semelhantes. Descreva a transformação que leva ABC em A'B'C' e calcule a razão de semelhança.
✍️ Dissertativa
Sejam os triângulos ABC e DEF. Prove que ABC ~ DEF se, e somente se, existem k>0 e uma rotação R de tal modo que vetor AB = k·R(DE) e vetor AC = k·R(DF). Em seguida deduza a condição algébrica equivalente em termos de…
✍️ Dissertativa
Sejam ?ABC e ?DEF tais que ?B = ?E e ?C = ?F. Demonstre que as razões dos lados correspondentes são iguais, isto é, mostre que AB/DE = AC/DF = BC/EF.
✍️ Dissertativa
Prove que, se em triângulos ABC e A'B'C' vale AB/A'B' = AC/A'C' e ?A = ?A', então ABC ~ A'B'C'.
✍️ Dissertativa
Sejam os triângulos ABC e A'B'C' com vértices A(1,2), B(4,6), C(2,8) e A'(0,0), B'(6,8), C'(2,12). Mostre que ABC e A'B'C' são semelhantes e determine a razão de semelhança (tomando correspondência A?A', B?B', C?C').
✍️ Dissertativa
Demonstre que dois triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes se, e somente se, AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'. Apresente uma demonstração completa e rigorosa.
✍️ Dissertativa
Nos triângulos ABC e A'B'C' sabe-se que AB = 8, AC = 12, A'B' = 4, A'C' = 6 e ?A = ?A'. Mostre que ABC é semelhante a A'B'C' e determine a razão de semelhança. Se BC = 10, calcule o comprimento de B'C'.
✍️ Dissertativa
Prove que se dois triângulos têm duas pares de ângulos correspondentes iguais, então os triângulos são semelhantes.
✍️ Dissertativa
Demonstre que, em uma circunferência de raio R, o comprimento da corda que subtende um ângulo central ? é c = 2R·sin(?/2). Em seguida, calcule c para R = 15 cm e ? = 140°.
✍️ Dissertativa
Numa circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente em P. Sabe-se AP = 6 cm, PC = 9 cm, BP = 2x cm e DP = 3x cm. Determine x e os comprimentos de BP e DP, justificando por semelhança de triângulos ou…
✍️ Dissertativa
Demonstre que a igualdade das razões dos lados correspondentes é condição necessária e suficiente para que dois triângulos sejam semelhantes: se em ABC e A'B'C' tem AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' então ABC ~ A'B', e que se…
✍️ Dissertativa
Num círculo, sejam A, B, C, D pontos distintos nessa ordem. Sabe-se que ?ABC = ?CDA e ?ACB = ?CAD. Prove que os triângulos ?ABC e ?CDA são semelhantes e deduza a razão entre os lados correspondentes AB/CD = BC/DA.
✍️ Dissertativa
Sejam A, B, C, D pontos distintos numa circunferência de centro O. Sabendo que m(arc AB) = m(arc CD), prove que os triângulos ?AOB e ?COD são semelhantes e identifique os ângulos correspondentes.
✍️ Dissertativa
Num círculo de centro O e raio R = 13 cm, a distância perpendicular do centro até a corda AB é d = 5 cm. Usando semelhança de triângulos e relações entre ângulos na circunferência, determine o comprimento da corda AB e…
✍️ Dissertativa
Seja uma circunferência com pontos A, B, C e D distintos. Sabe-se que os arcos BC e DE têm a mesma medida. Prove que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determine a razão entre lados correspondentes.
✍️ Dissertativa
Sejam A,B,C,D pontos distintos numa circunferência e AC e BD cordas que se intersectam em P (internamente). Prove que os triângulos APD e CPB são semelhantes e, sabendo AP = 5 cm, PB = 7 cm, PD = (14/5)·x cm e CP = x cm…
✍️ Dissertativa
Na circunferência de centro O, os pontos A, B, C, D aparecem nessa ordem. As medidas dos arcos menores são m(arc AB)=50°, m(arc BC)=70° e m(arc CD)=80°. (a) Calcule m(arc AD). (b) Determine as medidas de ?AOC (ângulo…
✍️ Dissertativa
Sejam quatro pontos A,B,C,D numa circunferência e as cordas AC e BD intersectam-se em P (internamente). Sabe-se que o ângulo inscrito ?ACB = 2x + 8° e o ângulo central ?AOB (que subtende o arco AB) mede 7x + 10°. Além…
✍️ Dissertativa
Num círculo de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem no sentido horário. O ângulo central ?AOB mede 160°. O ângulo inscrito ?ACB, que intercepta o arco AB, mede 2x + 5°. Além disso, m(arc CD) = 2x - 10°…
✍️ Dissertativa
Seja uma circunferência com pontos A, B, C e D nessa ordem. As cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se AB = 6 cm, BC = 9 cm e DA = 8 cm. Prove que os triângulos ABC e CDA são semelhantes e determine o comprimento da corda…
✍️ Dissertativa
Seja uma circunferência e pontos distintos A, B, C, D nessa ordem sobre ela. Sabe-se que m(arc AB) = m(arc CD). Prove que ?ACB = ?CAD e ?ABC = ?CDA e, a partir disso, demonstre que os triângulos ABC e CDA são…
✍️ Dissertativa
Considere uma circunferência de centro O com pontos A, B, C e D distintos, nessa ordem, tais que m(arc AB) = m(arc CD) e m(arc BC) = m(arc DA). Prove que os triângulos ABC e CDA são semelhantes e determine a razão entre…
✍️ Dissertativa
Em uma circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente em P. Prove que os triângulos ?APD e ?CPB são semelhantes e escreva as igualdades entre os ângulos correspondentes.
✍️ Dissertativa
Em uma circunferência, as cordas AC e BD se intersectam internamente no ponto P. Sabe-se AP = 4 cm, PB = 6 cm e CP = 3 cm. (a) Prove que os triângulos APD e CPB são semelhantes. (b) Calcule PD.