Considere uma circunferência de centro O com pontos A, B, C e D distintos, nessa ordem, tais que m(arc AB) =…

Questão

Considere uma circunferência de centro O com pontos A, B, C e D distintos, nessa ordem, tais que m(arc AB) = m(arc CD) e m(arc BC) = m(arc DA). Prove que os triângulos ABC e CDA são semelhantes e determine a razão entre os lados correspondentes AB/CD e BC/DA.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Arcos iguais determinam ângulos inscritos iguais: m(arc AB)=m(arc CD) ? ?ACB = ?CDA; m(arc BC)=m(arc DA) ? ?ABC = ?CAD. 2) Dois ângulos correspondentes iguais implicam similaridade por AA: ?ABC ~ ?CDA. 3) Para as razões: arcos iguais geram cordas iguais; como AB e CD interceptam arcos de mesma medida, AB = CD, e BC = DA. Logo AB/CD = 1 e BC/DA = 1. (Justifique AB=CD observando que m(arc AB)=m(arc CD) ? ?AOB=?COD e, com OA=OB=OC=OD=R, os triângulos centrais são congruentes, ou use expressão do comprimento da corda: chord = 2R·sin(arc/2).)

Explicação

A similaridade dos triângulos é estabelecida pela igualdade dos ângulos inscritos, resultando na condição AA. A igualdade dos arcos implica que as cordas correspondentes também são iguais, levando à razão 1 entre os lados correspondentes. Assim, a análise dos ângulos e das cordas confirma a semelhança e as razões solicitadas.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Uma placa de sinalização de uma trilha tem quatro lados. Seus lados opostos são paralelos, e seus quatro ângulos medem…
• Para decorar a sala, uma turma recortou uma peça em forma de polígono. Ela tem quatro lados de 15 cm e ângulos internos…
• Em um painel decorativo para a entrada de uma escola, foram usadas peças em forma de pentágono regular. A equipe de…
• Durante a montagem de uma placa para a feira cultural, Lara recortou um triângulo de papel para servir de seta. Antes de…
• — Para que as placas táteis do centro cultural tenham um padrão fácil de reconhecer, precisamos escolher uma figura que…
• Técnicos restauram placas metálicas de um antigo mercado público e organizam o acervo digital. Para facilitar futuras…

Todas as questões de Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados