Demonstre que a igualdade das razões dos lados correspondentes é condição necessária e suficiente para que…

Questão

Demonstre que a igualdade das razões dos lados correspondentes é condição necessária e suficiente para que dois triângulos sejam semelhantes: se em ABC e A'B'C' tem AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' então ABC ~ A'B', e que se ABC ~ A'B' então essas razões são iguais.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Primeiro, necessidade: se ABC ~ A'B' então existe correspondência de ângulos e lados; por definição de semelhança existe k ? 0 tal que A'B' = k·AB, B'C' = k·BC, C'A' = k·CA, logo AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' = 1/k. Segundo, suficiência: suponha AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' = r. Construa no plano um triângulo A*B*C* congruente a ABC escalado por r (defina A*B* = r·AB, etc.). Então A*B* = A'B', B*C* = B'C' e C*A* = C'A'; assim A*B*C* e A'B'C' são congruentes, logo seus ângulos correspondentes coincidem; como A*B*C* foi obtido por escala de ABC, os ângulos correspondentes de ABC e A'B' são iguais. Conclui-se que igualdade das razões dos lados correspondentes é condição necessária e suficiente para semelhança (critério SSS de semelhança).

Explicação

A explicação aborda a relação entre a semelhança de triângulos e a proporção dos lados, demonstrando que a igualdade das razões é uma condição que garante tanto a semelhança quanto a congruência dos ângulos correspondentes. A construção de um triângulo escalado ilustra como as razões proporcionais levam à congruência dos triângulos, reforçando a relação entre as dimensões e os ângulos. A argumentação é clara e lógica, seguindo os princípios da geometria para validar a afirmação.

Raio-X da questão

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