Sejam ?ABC e ?DEF tais que ?B = ?E e ?C = ?F. Demonstre que as razões dos lados correspondentes são iguais…

Questão

Sejam ?ABC e ?DEF tais que ?B = ?E e ?C = ?F. Demonstre que as razões dos lados correspondentes são iguais, isto é, mostre que AB/DE = AC/DF = BC/EF.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Aplicando a Lei dos Senos em cada triângulo: no ?ABC, AB/sin?C = BC/sin?A = AC/sin?B; no ?DEF, DE/sin?F = EF/sin?D = DF/sin?E. Como ?B = ?E e ?C = ?F, temos sin?B = sin?E e sin?C = sin?F. Assim AB/sin?C = AC/sin?B e DE/sin?F = DF/sin?E, levando a AB/DE = (sin?C)/(sin?F) · (DE/DE) = 1·(AC/DF) e, análogamente, BC/EF = 1·(BC/EF). Em consequência, AB/DE = AC/DF = BC/EF, ou seja, igualdade de dois ângulos correspondentes implica proporcionalidade de todos os lados correspondentes.

Explicação

A aplicação da Lei dos Senos permite estabelecer relações entre os lados e os ângulos dos triângulos, mostrando que ângulos correspondentes iguais resultam em razões de lados correspondentes iguais. A equivalência das razões é confirmada pela substituição dos senos dos ângulos correspondentes, levando à conclusão de que as proporções são mantidas. Assim, a igualdade dos ângulos implica diretamente na proporcionalidade dos lados, validando a afirmação.

Raio-X da questão

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