Demonstre que, em uma circunferência de raio R, o comprimento da corda que subtende um ângulo central ? é c =…

Questão

Demonstre que, em uma circunferência de raio R, o comprimento da corda que subtende um ângulo central ? é c = 2R·sin(?/2). Em seguida, calcule c para R = 15 cm e ? = 140°.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere triângulo isósceles OAB com OA = OB = R e ?AOB = ?. Trace OM perpendicular a AB em seu ponto médio M; assim AM = MB = c/2 e ?AOM = ?/2. No triângulo retângulo OMA, sen(?/2) = AM/OA ? AM = R·sin(?/2). Logo c = 2·AM = 2R·sin(?/2). Para R = 15 cm e ? = 140°, ?/2 = 70° e sin70° ˜ 0,9396926. Assim c ˜ 2·15·0,9396926 ˜ 28,19 cm (aproximado).

Explicação

A demonstração utiliza um triângulo isósceles e um triângulo retângulo para relacionar o comprimento da corda com o seno do ângulo central. O uso da relação trigonométrica permite derivar a fórmula c = 2R·sin(?/2) de forma clara. O cálculo final aplica essa fórmula para encontrar o comprimento da corda com os valores dados, resultando em uma resposta numérica precisa.

Raio-X da questão

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