Numa circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente em P. Sabe-se AP = 6 cm, PC = 9 cm, BP = 2x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Numa circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente em P. Sabe-se AP = 6 cm, PC = 9 cm, BP = 2x cm e DP = 3x cm. Determine x e os comprimentos de BP e DP, justificando por semelhança de triângulos ou propriedade das cordas concorrentes.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Pelo teorema das cordas concorrentes (ou potência de um ponto): AP·PC = BP·DP. Substituindo: 6·9 = (2x)·(3x). Assim 54 = 6x² ? x² = 9 ? x = 3 (tomando x>0). Logo BP = 2x = 6 cm e DP = 3x = 9 cm. Alternativamente, pode-se justificar pela semelhança: os triângulos ?APB e ?CPD são semelhantes (ângulos opostos iguais e ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco), daí AP/PC = BP/PD e obtém-se a mesma equação que leva a x=3.
Explicação
A aplicação do teorema das cordas concorrentes permite estabelecer uma relação entre os segmentos das cordas que se cruzam, levando à formação de uma equação que pode ser resolvida para encontrar o valor de x. A semelhança dos triângulos formados pela interseção das cordas também justifica a mesma relação, confirmando a consistência do resultado obtido. Assim, tanto pela propriedade das cordas quanto pela semelhança de triângulos, chega-se aos valores corretos para BP e DP.
Raio-X da questão
cordas de circunferência
avaliacao
propriedades das cordas · semelhança de triângulos
Revisar a propriedade das cordas concorrentes em circunferências.
O aluno pode confundir a relação entre os segmentos das cordas, aplicando incorretamente a propriedade das cordas concorrentes.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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