O sol rasante iluminava a pista de skate, destacando a forma da rampa principal. Conforme a figura ao lado, o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O sol rasante iluminava a pista de skate, destacando a forma da rampa principal. Conforme a figura ao lado, o corte transversal dessa estrutura foi idealizado como um triângulo retângulo com catetos de 4 m na base e 3 m de altura, resultando em hipotenusa de 5 m e ângulo agudo teta na base. Para ampliar o espaço de manobras, os projetistas planejaram uma segunda rampa com o mesmo ângulo de inclinação, mas cuja altura vertical fosse de 6 m. Essa escolha garante que proporções e declividade permaneçam idênticas entre as rampas. Com base no texto e na imagem, determine o comprimento em metros do cateto horizontal da segunda rampa que mantém o mesmo ângulo de inclinação.
- A) 6 m
- B) 8 m
- C) 4 e 1/2 m
- D) 12 m
- E) 10 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo da primeira rampa. Ele é retângulo, com catetos de 4 m (horizontal, na base) e 3 m (vertical, altura), e hipotenusa de 5 m. O ângulo agudo teta fica na base, entre a hipotenusa e o cateto horizontal.
- Determine a razão que define o ângulo. Como o ângulo é o mesmo nas duas rampas, a razão entre a altura e a base permanece constante. Na primeira rampa, tangente de teta = cateto oposto / cateto adjacente = 3/4. Equivalentemente, a razão base/altura é 4/3.
- Aplique a mesma proporção à segunda rampa, cuja altura vertical é 6 m. Seja x o cateto horizontal. Então x/6 = 4/3, ou seja, x = 6 * 4/3 = 8 m.
- Confira pela semelhança de triângulos. A segunda rampa é a primeira ampliada pelo fator 6/3 = 2. Logo, os catetos são 4 * 2 = 8 m na base e 3 * 2 = 6 m na altura, e a hipotenusa é 5 * 2 = 10 m. A base de 8 m é, portanto, a resposta.
- Analise as alternativas erradas. A (6 m) é o valor da altura dada, que é o cateto vertical e não o horizontal. C (4 e 1/2 m) resulta de multiplicar 6 por 3/4, invertendo a razão. D (12 m) dobra a altura, o que não preserva a proporção. E (10 m) é a hipotenusa da segunda rampa, não o cateto horizontal.
💡 Dica: Use semelhança de triângulos para encontrar o cateto horizontal.
Alternativa por alternativa
Assume que o cateto horizontal da nova rampa é igual à altura informada (6 m), confundindo o cateto vertical com o horizontal.
Por que engana: Confundir as proporções dos lados ou não aplicar a semelhança corretamente, calculando o cateto errado.
Pela semelhança de triângulos, o fator é 6/3=2, logo o cateto horizontal é 4×2=8 m, mantendo o mesmo ângulo.
Aplica a razão invertida, multiplicando 6 por 3/4, o que dá 4,5 m. Troca a razão base/altura pela razão altura/base.
Acredita que a base deve dobrar porque a altura dobrou, ou que a base aumenta de forma aditiva (6 + 6). Não percebe que a proporção deve ser mantida por multiplicação com a razão 4/3.
Toma a hipotenusa da nova rampa (6, 8, 10) como sendo o cateto horizontal pedido, confundindo hipotenusa com cateto.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos, proporção, ângulo
avaliacao
teorema de Pitágoras · razões trigonométricas básicas
Estude semelhança de triângulos e razões trigonométricas básicas.
Confundir as proporções dos lados ou não aplicar a semelhança corretamente, calculando o cateto errado.
pensamento_critico
cotidiano
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