No triângulo ABC traçou-se DE // BC, com D em AB e E em AC. Sabe-se AB = 7x - 1, AD = 2x + 3, AC = 5x + 2 e AE…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo ABC traçou-se DE // BC, com D em AB e E em AC. Sabe-se AB = 7x - 1, AD = 2x + 3, AC = 5x + 2 e AE = 3x - 1. Determine o valor de x (raiz positiva).
- A) x = 5
- B) x = 3
- C) x = 1
- D) x = (29 + v1061) / 22 (raiz positiva)
- E) x = -2
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como DE é paralelo a BC, vale o Teorema de Tales (triângulos ADE e ABC são semelhantes), logo AD/AB = AE/AC. Passo 2: Substituindo os valores: (2x+3)/(7x-1) = (3x-1)/(5x+2). Passo 3: Multiplicando em cruz: (2x+3)(5x+2) = (3x-1)(7x-1), ou seja, 10x^2+19x+6 = 21x^2-10x+1. Passo 4: Passando todos os termos para um lado: 11x^2-29x-5 = 0. Passo 5: Por Bhaskara, delta = 841+220 = 1061, logo x = (29 ± raiz de 1061)/22. Passo 6: Como são comprimentos, só a raiz positiva serve: x = (29 + raiz de 1061)/22, aproximadamente 2,78. Verificação: AD/AB ≈ 8,56/18,46 ≈ 0,464 e AE/AC ≈ 7,34/15,9 ≈ 0,462, praticamente iguais (a diferença vem do arredondamento). Passo 7: Por que as outras estão erradas: x = 5 gera AD/AB = 13/34 e AE/AC = 14/27, que não são iguais; x = 3 gera 9/20 e 8/17, diferentes; x = 1 gera 5/6 e 2/7, diferentes; x = -2 gera comprimentos negativos (AB = -15), o que é impossível. O gabarito D está correto.
💡 Dica: Use a proporcionalidade dos segmentos determinada pelas retas paralelas e resolva a equação resultante.
Alternativa por alternativa
Provavelmente montou a proporção corretamente, mas errou no produto em cruz ou na simplificação da equação do segundo grau, e um valor inteiro acabou parecendo solução. Também pode ter testado apenas uma igualdade parcial.
Por que engana: O aluno pode montar a proporção entre segmentos não correspondentes ou cometer erros algébricos ao desenvolver e resolver a equação resultante.
Possivelmente escolheu um valor inteiro pequeno por tentativa, sem verificar se a proporção AD/AB = AE/AC é satisfeita. Pode ter confundido a proporção com uma igualdade simples entre expressões.
Provavelmente substituiu x = 1 diretamente numa das expressões ou errou ao expandir os produtos, obtendo uma equação falsa que aparentava estar correta. Não conferiu a proporção nos dois lados.
Pela semelhança, (2x+3)/(7x-1) = (3x-1)/(5x+2). Igualando e simplificando obtém-se 11x² - 29x - 5 = 0; solução positiva x = (29+v1061)/22.
Aceitou como solução uma raiz negativa, sem perceber que segmentos de reta têm comprimento positivo e que AB = 7(-2)-1 = -15 não faz sentido geométrico. Não usou o contexto da questão para descartar a resposta.
Raio-X da questão
Teorema de Tales em triângulos
avaliacao
Proporcionalidade entre segmentos · Resolução de equações quadráticas
Revise a proporcionalidade entre segmentos correspondentes formados por retas paralelas e a resolução de equações do segundo grau.
O aluno pode montar a proporção entre segmentos não correspondentes ou cometer erros algébricos ao desenvolver e resolver a equação resultante.
tomada_decisao
abstrato
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