Sejam os triângulos ABC e A'B'C' com vértices A(1,2), B(4,6), C(2,8) e A'(0,0), B'(6,8), C'(2,12). Mostre que…

Questão

Sejam os triângulos ABC e A'B'C' com vértices A(1,2), B(4,6), C(2,8) e A'(0,0), B'(6,8), C'(2,12). Mostre que ABC e A'B'C' são semelhantes e determine a razão de semelhança (tomando correspondência A?A', B?B', C?C').

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Calcule os vetores dos lados a partir de A e A': AB = B-A = (4-1,6-2) = (3,4); AC = C-A = (2-1,8-2) = (1,6). A'B' = B'-A' = (6,8) = 2·(3,4) = 2·AB; A'C' = C'-A' = (2,12) = 2·(1,6) = 2·AC. Logo |A'B'| = 2|AB| e |A'C'| = 2|AC|, isto é, os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais com razão A'B'/AB = A'C'/AC = 2. Além disso, como A'B' e A'C' são múltiplos escalares de AB e AC, o ângulo entre A'B' e A'C' é igual ao ângulo entre AB e AC (multiplicação escalar não altera ângulos). Portanto, dois pares de lados correspondentes são proporcionais e o ângulo entre eles é igual, implicando semelhança por critério LAL (SAS). A razão de semelhança, tomando ABC ? A'B'C', é k = A'B'/AB = 2.

Explicação

A semelhança entre os triângulos é estabelecida pela proporção dos comprimentos dos lados correspondentes e pela igualdade dos ângulos formados entre esses lados. A multiplicação escalar dos vetores dos lados não altera os ângulos, garantindo que a relação angular se mantenha. Assim, a razão de semelhança é determinada pela proporção dos lados, que neste caso é 2.

Raio-X da questão

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