Prove de forma detalhada o critério LAL (lado-ângulo-lado) para semelhança: se em dois triângulos ABC e DEF…

Questão

Prove de forma detalhada o critério LAL (lado-ângulo-lado) para semelhança: se em dois triângulos ABC e DEF vale AB/DE = AC/DF e ?A = ?D, então ABC ~ DEF. Apresente construção e argumento lógico.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: suponha AB/DE = AC/DF = k>0 e ?A = ?D. Escale o triângulo DEF por k, construindo DÊF^ tal que DÊ = k·DE = AB e D F^ = k·DF = AC, mantendo o ângulo em D igual a ?A. Como os dois lados adjacentes e o ângulo entre eles em DÊF^ coincidem com AB, AC e ?A, os triângulos ABC e DÊF^ são congruentes (LAL). Assim, os ângulos restantes coincidem; como DÊF^ é homotético a DEF, segue que os ângulos correspondentes de ABC e DEF são iguais e os lados são proporcionais. Logo ABC ~ DEF por LAL de semelhança.

Explicação

A construção do triângulo DÊF^, escalado por k, demonstra que os lados correspondentes e o ângulo entre eles são iguais aos do triângulo ABC, estabelecendo a congruência entre os dois triângulos. Isso implica que os ângulos restantes também são iguais, mantendo a proporção entre os lados. Assim, a relação de semelhança é garantida pelo critério LAL, confirmando que os triângulos são semelhantes.

Raio-X da questão

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