Sejam A,B,C,D pontos distintos numa circunferência e AC e BD cordas que se intersectam em P (internamente)…

Questão

Sejam A,B,C,D pontos distintos numa circunferência e AC e BD cordas que se intersectam em P (internamente). Prove que os triângulos APD e CPB são semelhantes e, sabendo AP = 5 cm, PB = 7 cm, PD = (14/5)·x cm e CP = x cm, determine x, CP e PD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Prova da semelhança: Nos triângulos ?APD e ?CPB, ?APD e ?CPB são ângulos opostos pelo vértice formados pelas cordas; além disso, ?ADP e ?CBP interceptam o mesmo arco AB, logo são congruentes. Portanto os triângulos têm dois ângulos iguais e são semelhantes (AA). 2) Usando semelhança e o teorema dos segmentos de cordas: AP·PB = CP·PD. Substituindo AP=5 e PB=7 e PD=(14/5)x e CP=x: 5·7 = x·(14/5)x ? 35 = (14/5) x² ? x² = 35·5/14 = 175/14 = 12.5 ? x = v12.5 = 5/v2 cm. 3) Logo CP = x = 5/v2 cm ˜ 3.5355 cm; PD = (14/5)x = (14/5)·(5/v2) = 14/v2 = 7v2 ˜ 9.8995 cm. (Alternativamente apresentar resultados em forma racional: x = 5/v2, CP = 5/v2 cm, PD = 7v2 cm.)

Explicação

A semelhança dos triângulos é estabelecida pela congruência dos ângulos formados pelas cordas e pelo fato de que eles interceptam o mesmo arco, permitindo aplicar o critério AA. A relação entre os segmentos das cordas leva à equação que, ao ser resolvida, fornece o valor de x e, consequentemente, os comprimentos de CP e PD. Os resultados finais podem ser apresentados tanto em forma decimal quanto racional, dependendo da preferência.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Em um aquário, a placa pentagonal que contorna uma janela tem quatro cantos que coincidem com o canto de um esquadro e…
• Situação hipotética: na lateral de uma balsa, uma rampa forma com o convés um perfil poligonal. Um canto de papel…
• Na decoração de uma festa junina, duas bandeirinhas poligonais foram conferidas com um esquadro: o desenho A tem 3…
• Em uma estação de radar, uma plataforma tem contorno pentagonal. Ao comparar seus cantos com o canto de uma folha…
• No programa de desenho usado para planejar um abrigo de animais, uma planta em forma de polígono tem um canto igual ao…
• No mercado de peixe, uma etiqueta tem formato de quadrilátero. Ao conferir seus cantos com um esquadro, Lia observa que…

Todas as questões de Ângulos retos e não retos: uso de dobraduras, esquadros e softwares