Sejam quatro pontos A,B,C,D numa circunferência e as cordas AC e BD intersectam-se em P (internamente)…

Questão

Sejam quatro pontos A,B,C,D numa circunferência e as cordas AC e BD intersectam-se em P (internamente). Sabe-se que o ângulo inscrito ?ACB = 2x + 8° e o ângulo central ?AOB (que subtende o arco AB) mede 7x + 10°. Além disso, o ângulo formado pelas cordas em P mede ?APB = 3x + 5°. (a) Determine o valor de x. (b) Prove que os triângulos APB e CPD são semelhantes e explique por que AP·PB = CP·PD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) O ângulo inscrito ?ACB intercepta o arco AB, portanto a medida do arco AB é 2·?ACB = 2(2x+8)=4x+16. O ângulo central ?AOB também mede a mesma medida do arco AB, logo 7x+10 = 4x+16 ? 3x = 6 ? x = 2. (b) Considere as cordas AC e BD que se intersectam em P. Os triângulos ?APB e ?CPD têm: ?APB = ?CPD (são ângulos verticais) e ?ABP = ?CDP pois cada um subtende o mesmo arco AD (ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são congruentes). Assim têm dois ângulos iguais e são semelhantes (AA). Pela semelhança, as razões de correspondência dos lados são iguais; multiplicando as proporções adequadas obtém-se AP·PB = CP·PD, que também é o teorema do produto das partes de cordas quando duas cordas se cortam no interior da circunferência. Portanto x = 2, os triângulos são semelhantes e AP·PB = CP·PD.

Explicação

A solução apresenta a relação entre ângulos inscritos e centrais, permitindo determinar o valor de x a partir da igualdade das medidas dos arcos. A semelhança dos triângulos é estabelecida por ângulos verticais e ângulos iguais que subtendem o mesmo arco, confirmando a condição AA. A relação AP·PB = CP·PD é uma consequência do teorema do produto das partes de cordas, que se aplica quando duas cordas se cruzam dentro da circunferência.

Raio-X da questão

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