38 Questões de Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

Por que calçadas históricas exibem padrões de três formas geométricas que se repetem sem falhas? Em muitas praças de cidades antigas, artesãos combinam ladrilhos regulares: quadrados, triângulos equiláteros e hexágonos regulares. Cada vértice do padrão recebe sempre uma sequência de um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado, percorrendo-se em torno dele. Esse arranjo cobre todo o plano da calçada sem deixar espaços nem sobreposição de peças. Analise o texto-base e classifique o ladrilhamento do plano descrito de acordo com os tipos de tesselação.

1. A) Classificar o ladrilhamento como semi-regular
2. B) Classificar o ladrilhamento como irregular
3. C) Classificar o ladrilhamento como não periódico
4. D) Classificar o ladrilhamento como demiregular
5. E) Classificar o ladrilhamento como regular

Dados ilustrativos: Um levantamento feito por estudantes de arquitetura detalhou um padrão de ladrilhamento para o piso de um hall de entrada. Nesse padrão, cada ladrilho regular hexagonal de lado 1 m é cercado por 6 ladrilhos triangulares equiláteros de lado 1 m, formando um conjunto que se repete em toda a superfície. Para executar o projeto, o programa prevê encomendar 150 hexágonos e um lote de triângulos. Analise o texto-base e avalie se a encomenda de triângulos atende ao padrão de composição indicado.

1. A) A encomenda de 600 triângulos atende ao padrão de 6 triângulos por hexágono.
2. B) A encomenda de 300 triângulos atende ao padrão de 6 triângulos por hexágono.
3. C) A encomenda de 1500 triângulos atende ao padrão de 6 triângulos por hexágono.
4. D) A encomenda de 1200 triângulos atende ao padrão de 6 triângulos por hexágono.
5. E) A encomenda de 900 triângulos atende ao padrão de 6 triângulos por hexágono.

Ao planejar um mosaico decorativo, um artista considerou diferentes polígonos regulares para cobrir uma superfície sem deixar espaços. Ele utilizou a expressão do ângulo interno de um polígono regular de n lados: ((n-2)/n)*180 graus. Aplicando a fórmula, obteve: triângulo (n=3) ? 60 graus; quadrado (n=4) ? 90 graus; pentágono regular (n=5) ? 108 graus; hexágono regular (n=6) ? 120 graus. Para que um único tipo de polígono regular preencha totalmente o plano sem lacunas, seu ângulo interno deve ser divisor exato de 360 graus. Com base no texto-base, identifique quais polígonos regulares podem tesselar o plano sem deixar espaços.

1. A) Utilizar apenas quadrados e pentágonos regulares.
2. B) Utilizar apenas triângulos, quadrados e hexágonos regulares.
3. C) Utilizar apenas hexágonos e pentágonos regulares.
4. D) Utilizar apenas triângulos e pentágonos regulares.
5. E) Utilizar apenas pentágonos regulares.

— Arquiteta, como posso criar um mosaico sem falhas em que os polígonos preencham totalmente o entorno de um ponto? perguntou um cliente. A arquiteta avaliou três formas regulares: triângulo equilátero (ângulo interno 60°), quadrado (90°) e hexágono regular (120°). Em seguida, ela sugeriu quatro esquemas, cada um com quatro polígonos: A: 1 hexágono + 3 triângulos; B: 4 quadrados; C: 2 quadrados + 2 triângulos; D: 3 hexágonos + 1 triângulo. Para que não haja espaços nem sobreposições ao redor de um vértice, a soma dos ângulos internos deve ser exatamente 360°. Identifique no texto-base qual opção de padronagem permite o ladrilhamento sem falhas ao redor de um ponto.

1. A) Opção B, com 4 quadrados
2. B) Opção C, com 2 quadrados e 2 triângulos
3. C) Opção A, com 1 hexágono e 3 triângulos
4. D) Nenhuma das opções preenche exatamente 360°
5. E) Opção D, com 3 hexágonos e 1 triângulo

Uma pesquisa recente sobre pavimentos históricos registrou as formas geométricas usadas em um fragmento de mosaico romano. Nesse fragmento, observa-se um padrão em que cada quadrado se une lateralmente a quatro triângulos equiláteros, formando unidades repetitivas. Em uma amostra do mosaico foram contados 12 quadrados e 24 triângulos. Esse mesmo padrão se repete uniformemente em toda a extensão do ladrilhamento. Determine a razão entre o número de triângulos e o número de quadrados em cada unidade repetitiva desse ladrilhamento.

1. A) Conter a razão 2 para 1
2. B) Conter a razão 1 para 1
3. C) Conter a razão 4 para 3
4. D) Conter a razão 3 para 2
5. E) Conter a razão 1 para 2

Notas do mestre-artesão Elena revelam que, no revestimento de um salão, cada vértice do mosaico reúne exatamente um triângulo equilátero e dois polígonos regulares congruentes. Para qualquer polígono regular de k lados, o valor de seu ângulo interno é (k–2)·180/k graus. Sabendo que, em cada vértice, a soma dos três ângulos internos deve ser 360°, o mestre anotou a equação que relaciona k a essa condição. Conclua o valor de k que permite completar o ladrilhamento descrito, em que um triângulo equilátero e dois polígonos regulares de k lados se encontram em cada vértice.

1. A) 8
2. B) 10
3. C) 12
4. D) 9
5. E) 6