Polígonos regulares: exercícios com gabarito comentado

Quando comecei a dar aulas de geometria para o 7º ano, eu achava que polígonos regulares eram o tipo de conteúdo que se resolvia decorando fórmulas. Só fui perceber o problema quando um aluno me perguntou por que o hexágono cobre o chão e o pentágono não. Foi a partir daí que passei a montar listas de exercícios conectadas com situações reais, como praças, calçadas e azulejos.

Neste post, reuno as questões que uso com minhas turmas, com gabarito comentado e os dados pedagógicos que o GeraProva registra para cada uma delas. Você pode copiar, adaptar ou gerar outras parecidas direto na plataforma.

O que é um polígono regular?

Um polígono regular é uma figura plana fechada cujos lados têm todos a mesma medida e cujos ângulos internos também são todos iguais. Triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular e hexágono regular são exemplos clássicos. Na prática de sala de aula, o que mais ajuda o aluno é não tratar a definição como frase decorada, e sim como uma propriedade que ele verifica com régua e transferidor. Quando eu peço que os alunos desenhem um losango e depois um quadrado e comparem os ângulos, a diferença entre "lados iguais" e "ângulos iguais" aparece sozinha. Para montar exercícios desse tipo rapidamente, o GeraProva gera questões a partir dessa mesma definição, com alternativas plausíveis, e você só precisa revisar.

Vale insistir: um losango tem lados iguais, mas não é regular, porque seus ângulos internos não são iguais. Esse contraexemplo é ótimo para desfazer a ideia de que basta um dos critérios.

Como calcular os ângulos internos de um polígono regular?

Para calcular o ângulo interno de um polígono regular com n lados, use a soma dos ângulos internos, que é (n − 2) × 180°, e divida pelo número de lados. Assim, no triângulo equilátero temos 180° ÷ 3 = 60°; no quadrado, 360° ÷ 4 = 90°; no pentágono, 540° ÷ 5 = 108°; no hexágono, 720° ÷ 6 = 120°. Eu costumo fazer esse cálculo passo a passo no quadro, uma linha por polígono, porque o aluno percebe o padrão de crescimento dos ângulos à medida que aumenta o número de lados.

• Passo 1: identifique o número de lados n.
• Passo 2: calcule a soma (n − 2) × 180°.
• Passo 3: divida a soma por n.

Com essa sequência, a maioria dos alunos do 8º ano resolve sem consultar a fórmula. Na plataforma, quando você pede questões sobre esse tema, o GeraProva varia o polígono e o formato da pergunta, o que evita a memorização mecânica.

Como os ângulos externos se relacionam com os internos?

Em todo polígono regular, cada ângulo externo é o suplementar do ângulo interno vizinho, ou seja, interno + externo = 180°. Por isso o ângulo externo de um polígono regular é 360° ÷ n. No hexágono, por exemplo, o externo mede 60°, e o interno, 120°. Essa relação é justamente o que resolve a primeira questão desta lista, em que precisamos achar o polígono cujo externo é metade do interno.

Como ensinar ladrilhamento do plano com polígonos regulares?

Ladrilhar o plano significa cobrir uma superfície sem deixar lacunas e sem sobreposição. Para que isso aconteça com um único tipo de polígono regular, a soma dos ângulos em torno de um vértice precisa dar exatamente 360°. Isso só acontece com triângulos equiláteros (6 em cada vértice), quadrados (4) e hexágonos regulares (3). O pentágono não encaixa, porque 360° ÷ 108° não é inteiro. Essa conclusão é uma das mais bonitas do currículo do Ensino Médio, e eu gosto de levar azulejos reais para a sala para os alunos testarem.

Nos últimos anos, quando montei atividades desse tipo, passei a usar a ferramenta do cadastro grátis para gerar variações de combinação de polígonos sem precisar desenhar tudo à mão. Isso economizou horas de preparação e me deu mais tempo para a discussão em aula.

Questões prontas com gabarito comentado

As questões abaixo vêm da base do GeraProva, cada uma com a classificação de dificuldade, o nível de Bloom e o código BNCC correspondente. Todas estão resolvidas e comentadas, com a explicação do porquê de cada alternativa estar certa ou errada.

Questão 1: por que as praças usam plantas regulares?

Por que as novas praças da cidade adotam plantas regulares em vez de formatos aleatórios? A equipe de paisagismo propôs instalar uma fonte em uma praça cujo contorno seja um polígono regular. Eles definiram que cada ângulo externo desse polígono deve medir exatamente metade de cada ângulo interno. Para avaliar a proposta, consideraram polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 8 lados e anotaram suas medidas de ângulos internos e externos.

Analise o texto-base e identifique o polígono regular que satisfaz a condição de que cada ângulo externo seja igual à metade de cada ângulo interno.

• ❌ A) Quadrado — No quadrado, ângulo interno = 90° e externo = 90°, e 90° não é metade de 90°.
• ❌ B) Pentágono regular — No pentágono regular, ângulo interno = 108° e externo = 72°, e 72° não é metade de 108°.
• ❌ C) Octógono regular — No octógono regular, ângulo interno = 135° e externo = 45°, e 45° não é metade de 135°.
• ✅ D) Hexágono regular — No hexágono regular, ângulo interno = 120° e externo = 60°, e 60° é metade de 120°.
• ❌ E) Triângulo equilátero — No triângulo equilátero, ângulo interno = 60° e externo = 120°, e 120° não é metade de 60°.

Dica de resolução: calcule os ângulos internos e externos dos polígonos e compare as medidas conforme a condição dada. Conceito central: ângulos internos e externos de polígonos. Conceito para revisão: propriedades dos ângulos internos e externos de polígonos regulares. Código BNCC EF07MA27, nível de Bloom Avaliar.

Questão 2: qual polígono não ladrilha o plano?

Dados ilustrativos: Um grupo de arquitetos avalia formatos de ladrilhos para cobrir uniformemente o piso de uma praça sem deixarem espaços vazios. Eles listaram quatro formas planeares: triângulos equiláteros, quadrados, paralelogramos e hexágonos regulares. Cada forma pode ser repetida lado a lado, sem sobreposição, para preencher toda a superfície. Em seguida, consideram o uso de um quinto formato — pentágonos regulares — e questionam se esse formato também possibilita esse tipo de cobertura completa do plano.

Identifique qual polígono apresentado no texto-base não permite o ladrilhamento regular do plano sem lacunas.

• ✅ A) Pentágonos regulares — Pentágonos regulares têm ângulo interno de 108° e 360/108 ≈ 3,33, não possibilitando divisão exata sem lacunas.
• ❌ B) Quadrados — Quadrados têm ângulo interno de 90° e 360/90 = 4, portanto podem cobrir o plano sem espaços.
• ❌ C) Hexágonos regulares — Hexágonos regulares têm ângulo interno de 120° e 360/120 = 3, portanto permitem o ladrilhamento do plano.
• ❌ D) Paralelogramos — Paralelogramos, mesmo não regulares, podem ser dispostos em fileiras para cobrir o plano sem lacunas.
• ❌ E) Triângulos equiláteros — Triângulos equiláteros têm ângulo interno de 60° e 360/60 = 6, portanto podem ladrilhar o plano sem lacunas.

Dica de resolução: analise as propriedades dos polígonos para verificar se podem cobrir o plano sem lacunas. Conceito central: ladrilhamento regular do plano. Conceito para revisão: propriedades dos polígonos regulares e suas capacidades de ladrilhamento. Código BNCC EM13MAT505, nível de Bloom Entender.

Questão 3: quais peças iguais fecham o vértice com um quadrado?

Em um aplicativo usado para planejar calçadas, o gráfico mostra a relação entre número de lados e ângulo interno de alguns polígonos regulares. A equipe quer fechar um vértice com 1 quadrado e 2 peças iguais. De acordo com o gráfico, quais peças iguais resolvem o encaixe?

• ❌ A) Triângulos equiláteros — Com 2 triângulos e 1 quadrado: 60 + 60 + 90 = 210°, faltando 150°.
• ❌ B) Quadrados — Com 2 quadrados e 1 quadrado: 90 + 90 + 90 = 270°, faltando 90°.
• ❌ C) Pentágonos regulares — Com 2 pentágonos e 1 quadrado: 108 + 108 + 90 = 306°, faltando 54°.
• ❌ D) Hexágonos regulares — Com 2 hexágonos e 1 quadrado: 120 + 120 + 90 = 330°, faltando 30°.
• ✅ E) Octógonos regulares — Com 2 octógonos e 1 quadrado: 135 + 135 + 90 = 360°, fechando o vértice.

Dica de resolução: analise o gráfico para identificar os ângulos internos que somam 360 graus. Conceito central: ângulos internos de polígonos regulares. Conceito para revisão: propriedades dos ângulos internos de polígonos regulares. Código BNCC EM13MAT505, nível de Bloom Analisar.

Questão 4: qual peça usar três vezes em cada vértice?

Em um projeto de piso para uma praça, o gráfico mostra os ângulos internos de peças regulares disponíveis. A equipe quer formar cada vértice com exatamente 3 peças iguais, sem sobra nem sobreposição. De acordo com o gráfico, qual peça deve ser escolhida?

• ❌ A) Triângulo equilátero — Seu ângulo é 60°. Com 3 peças, totaliza 180°, e não fecha o vértice.
• ❌ B) Quadrado — Seu ângulo é 90°. Com 3 peças, totaliza 270°, faltando 90°.
• ❌ C) Pentágono regular — Seu ângulo é 108°. Com 3 peças, totaliza 324°, faltando 36°.
• ✅ D) Hexágono regular — Seu ângulo é 120°. Com 3 peças, totaliza 360°, fechando o vértice.
• ❌ E) Octógono regular — Seu ângulo é 135°. Com 3 peças, totaliza 405°, havendo sobreposição.

Dica de resolução: calcule o ângulo total formado por 3 peças iguais para verificar se somam 360°. Conceito central: ângulos internos de polígonos regulares. Conceito para revisão: soma dos ângulos ao redor de um ponto. Código BNCC EM13MAT505, nível de Bloom Aplicar.

Questão 5: qual polígono preenche a lacuna de 60°?

Numa oficina de azulejos em Recife, o gráfico de pizza mostra como um vértice do mosaico já está ocupado: um hexágono regular, dois quadrados e uma lacuna. Com base nos dados, qual polígono regular preenche exatamente a lacuna, sem recorte?

• ✅ A) Triângulo equilátero — A lacuna mede 60°. O triângulo equilátero tem ângulo interno de 60°.
• ❌ B) Quadrado — O quadrado mede 90°, maior do que a lacuna de 60°.
• ❌ C) Pentágono regular — O pentágono regular mede 108°, maior do que a lacuna de 60°.
• ❌ D) Hexágono regular — O hexágono regular mede 120°, maior do que a lacuna de 60°.
• ❌ E) Octógono regular — O octógono regular mede 135°, maior do que a lacuna de 60°.

Dica de resolução: analise os ângulos dos polígonos para determinar o que completa a lacuna. Conceito central: polígonos regulares e ângulos. Conceito para revisão: ângulos internos de polígonos regulares e soma dos ângulos em um ponto. Código BNCC EM13MAT505, nível de Bloom Compreender.

Questão 6: qual polígono completa o mosaico do sítio arqueológico?

Em um sítio arqueológico recém-descoberto, pesquisadores analisam o piso em mosaico que recobre uma sala retangular. Observou-se que em cada vértice do ladrilhamento encontram-se três polígonos regulares: dois quadrados de 90 graus e um hexágono regular de 120 graus cada. Para que o mosaico se estenda sem deixar espaços ou sobreposições, é necessário um quarto polígono regular em cada vértice, sempre da mesma espécie.

Com base na soma dos ângulos internos ao redor de um vértice, identifique o polígono regular que, em cada vértice, completa corretamente o ladrilhamento do mosaico.

• ❌ A) Pentágono regular — Ângulo interno do pentágono é 108°; soma 2×90°+120°+108°=408°, excede 360°.
• ❌ B) Heptágono regular — Ângulo interno do heptágono é cerca de 128,6°; soma ultrapassa 360°, não cabe no vértice.
• ❌ C) Octógono regular — Ângulo interno do octógono é 135°; soma 2×90°+120°+135°=435°, muito maior que 360°.
• ✅ D) Triângulo equilátero — Ângulo interno do triângulo equilátero é 60°; 2×90°+120°+60°=360°, completando o ladrilhamento sem espaços.
• ❌ E) Decágono regular — Ângulo interno do decágono é 144°; soma 2×90°+120°+144°=444°, incompatível com o ladrilhamento.

Dica de resolução: calcule a soma dos ângulos ao redor do vértice e determine o polígono que completa 360 graus. Conceito central: soma de ângulos de polígonos regulares. Conceito para revisão: ângulos internos de polígonos regulares e soma de ângulos ao redor de um ponto. Código BNCC EM13MAT505, nível de Bloom Aplicar.

Como usar essas questões na sua turma?

Minha sugestão é começar pelas questões de Bloom mais baixo, como a 5 e a 4, para aquecer, e deixar a 3 e a 6 para o fim da aula, quando a turma já domina o cálculo do ângulo interno. Peça que os alunos justifiquem a alternativa errada, não só a certa. Na minha experiência, é nas justificativas dos distratores que o raciocínio aparece de verdade. Você também pode pedir que a turma construa, com papel e tesoura, o padrão de ladrilhamento com hexágonos e triângulos, o que costuma render a melhor aula do bimestre.

Se quiser variar os enunciados ou criar uma prova completa com esse tema, o GeraProva monta a lista em poucos minutos, já com gabarito, e você revisa antes de aplicar. Ele é uma forma de ganhar tempo para o que realmente importa: a conversa com os alunos sobre por que a natureza e a arquitetura escolhem certas formas.

Teste a ferramenta com a sua própria turma: crie uma lista de polígonos regulares em alguns minutos, ajuste o que quiser e veja se ela funciona na sua sala. Se fizer sentido para você, comece pelo cadastro grátis e experimente.