Uma construtora testou ladrilhos regulares para cobrir, sem mistura de formas, o piso de um bicicletário. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma construtora testou ladrilhos regulares para cobrir, sem mistura de formas, o piso de um bicicletário. O gráfico mostra como o ângulo interno varia com o número de lados. De acordo com o gráfico, entre as opções, qual é o polígono de maior número de lados que consegue ladrilhar o plano sozinho?
- A) Pentágono regular
- B) Octógono regular
- C) Decágono regular
- D) Hexágono regular
- E) Dodecágono regular
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Um polígono regular ladrilha sozinho o plano quando, em volta de cada vértice, os ângulos internos somam exatamente 360 graus. Isso só acontece se 360 for divisível pelo ângulo interno do polígono, ou seja, se o ângulo interno cabe um número inteiro de vezes em 360. Passo 2: Os valores do gráfico correspondem ao ângulo interno de cada polígono regular, que é dado por 180(n-2)/n, em que n é o número de lados. Passo 3: Pentágono (5 lados): 108 graus. 360 dividido por 108 dá 3,33..., não é inteiro, então não ladrilha sozinho. Passo 4: Hexágono (6 lados): 120 graus. 360 dividido por 120 dá 3, que é inteiro, então ladrilha o plano sozinho. Passo 5: Octógono (8 lados): 135 graus. 360 dividido por 135 dá 2,67..., não é inteiro, então não ladrilha. Passo 6: Decágono (10 lados): 144 graus. 360 dividido por 144 dá 2,5, não é inteiro, então não ladrilha. Passo 7: Dodecágono (12 lados): 150 graus. 360 dividido por 150 dá 2,4, não é inteiro, então não ladrilha sozinho. Passo 8: Entre as opções, o único polígono regular com ladrilhamento possível que tem o maior número de lados é o hexágono regular, alternativa D. Por que as outras estão erradas: o pentágono não ladrilha porque 108 não divide 360; o octógono não ladrilha porque 135 não divide 360; o decágono não ladrilha porque 144 não divide 360; e o dodecágono, embora possa aparecer em ladrilhamentos com outras formas, não ladrilha sozinho porque 150 não divide 360.
💡 Dica: Analise o gráfico para identificar o polígono com maior número de lados que pode ladrilhar o plano.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente acredita que o pentágono é o maior polígono que ladrilha, talvez por ter lido o gráfico de forma incompleta ou por não verificar se 360 é divisível pelo ângulo interno de 108 graus.
O aluno provavelmente supõe que basta o ângulo interno ser menor que 180 graus ou ser próximo de um valor conhecido para o polígono ladrilhar, sem verificar se 360 é múltiplo exato de 135.
O aluno provavelmente confunde a condição de ladrilhamento com a regularidade do número de lados, pensando que polígonos com número par de lados sempre encaixam, sem testar se 144 divide 360.
Seu ângulo interno é 120°, e 3 hexágonos completam 360°.
O aluno provavelmente lembra que o dodecágono aparece em mosaicos com triângulos e quadrados e conclui que ele ladrilha sozinho, desconsiderando a restrição do enunciado de não haver mistura de formas e o fato de 150 não dividir 360.
Raio-X da questão
polígonos regulares e ladrilhamento
diagnostico
polígonos regulares · ladrilhamento do plano
Estude propriedades dos polígonos regulares e critérios para ladrilhamento do plano.
Confundir o número de lados do polígono com a capacidade de ladrilhar o plano, ignorando o critério dos ângulos internos.
pensamento_critico
abstrato
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