Por que alguns mosaicos antigos usam ladrilhos de tamanhos variados? Um método popular consiste em cobrir…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que alguns mosaicos antigos usam ladrilhos de tamanhos variados? Um método popular consiste em cobrir retângulos de 2 unidades de altura por n unidades de largura usando ladrilhos de 2×1 (domino) e de 1×1 (quadrado). Para n de 1 a 5, a quantidade f(n) de maneiras de montar o retângulo é: f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=8. Esses valores formam uma sequência em que cada termo, a partir do terceiro, pode ser obtido a partir dos anteriores. Analise o texto-base e conjecture a relação que permite obter f(n) a partir dos termos anteriores.
- A) f(n)=f(n-1)×f(n-2)
- B) f(n)=f(n-1)+f(n-2)
- C) f(n)=f(n-2)+n
- D) f(n)=2·f(n-1)
- E) f(n)=f(n-1)+n
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os valores dados são f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5 e f(5)=8. Procuramos uma regra que, a partir do terceiro termo, gere cada valor usando os anteriores. Passo 2: Testamos a soma dos dois termos anteriores, f(n)=f(n-1)+f(n-2). Para n=3: f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3, que confere. Passo 3: Para n=4: f(4)=f(3)+f(2)=3+2=5, que confere. Para n=5: f(5)=f(4)+f(3)=5+3=8, que também confere. Essa é a sequência de Fibonacci, e a relação vale para todos os termos dados. Passo 4: Verificamos por que as outras alternativas estão erradas. A) f(n)=f(n-1)×f(n-2) dá f(3)=2×1=2, e não 3. C) f(n)=f(n-2)+n dá f(3)=f(1)+3=4, e não 3. D) f(n)=2·f(n-1) dá f(3)=2·2=4, e não 3. E) f(n)=f(n-1)+n dá f(3)=f(2)+3=5, e não 3. Passo 5: Conclusão: a relação correta é f(n)=f(n-1)+f(n-2), alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Observe a sequência e relacione cada termo com os dois anteriores.
Alternativa por alternativa
O aluno trocou a soma pela multiplicação dos termos anteriores, supondo que o padrão seja multiplicativo. Ele não testou a regra com f(3), que daria 2 em vez de 3.
Por que engana: Confundir operações de soma e multiplicação na relação entre termos da sequência.
Cada disposição de comprimento n termina com um bloco de 1×1 ou um domino 2×1, gerando a soma f(n-1)+f(n-2).
O aluno percebeu que o termo depende de f(n-2), mas somou n em vez de f(n-1), e não verificou a regra com os dados. Para n=3 obteria 4, e não 3.
O aluno observou que os valores crescem aproximadamente pelo dobro, mas tomou uma tendência como regra exata. Para n=3, obtém 4 em vez de 3, o que é uma generalização indevida.
O aluno acrescentou o índice n ao termo anterior, confundindo o valor da posição com o valor da sequência. Para n=3, obtém 5, e não 3.
Raio-X da questão
sequência de Fibonacci
avaliacao
sequências numéricas simples · recorrência matemática básica
Estude sequências numéricas e recursividade simples.
Confundir operações de soma e multiplicação na relação entre termos da sequência.
pensamento_critico
abstrato
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