Em um tribunal, nove integrantes estão disponíveis para compor uma comissão de audiência. Três deles têm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um tribunal, nove integrantes estão disponíveis para compor uma comissão de audiência. Três deles têm habilitação para presidir. A comissão terá um presidente, um secretário e dois assessores. Os dois assessores exercem a mesma função, de modo que trocar suas posições não forma uma nova comissão; as demais funções são distintas. Quantas comissões diferentes podem ser formadas, respeitando as condições descritas?
- A) 252 comissões diferentes
- B) 504 comissões diferentes
- C) 336 comissões diferentes
- D) 840 comissões diferentes
- E) 576 comissões diferentes
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique as restrições. Há 9 integrantes disponíveis, dos quais apenas 3 podem ser presidentes. A comissão tem 4 vagas: presidente, secretário e dois assessores. Os dois assessores são cargos idênticos, então a ordem entre eles não importa.
- Escolha o presidente. Como só 3 integrantes são habilitados, há 3 modos de escolher o presidente.
- Escolha o secretário. Após o presidente, restam 8 integrantes, então há 8 modos de escolher o secretário.
- Escolha os dois assessores. Restam 7 integrantes. Como os assessores são indistintos, o número de pares não ordenados é C(7,2) = 7 x 6 / 2 = 21.
- Multiplique as escolhas independentes: 3 x 8 x 21 = 504 comissões.
- Verificação das alternativas. A alternativa A (252) corresponderia a tratar a escolha do presidente como livre entre os 9 ou a outro arranjo incorreto; a C (336) e a E (576) resultam de contagens de ordem ou de multiplicações erradas; a D (840) corresponde a 3 x 8 x 35 ou a tratar os assessores como ordenados de modo incorreto. Apenas a B (504) respeita as três condições do enunciado. Resposta: B.
💡 Dica: Comece pela vaga com restrição, o presidente, e depois preencha as demais. Para os dois assessores, que têm a mesma função, pergunte se a ordem de escolha muda a comissão.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente ignorou a restrição de que só 3 podem presidir ou dividiu o total por um fator sem justificativa, chegando a 252 por um arranjo incorreto das escolhas.
Há 3 opções para presidente; depois, 8 para secretário e, entre os 7 integrantes restantes, 21 maneiras de escolher dois assessores. Pelo princípio multiplicativo, 3 x 8 x 21 = 504.
O aluno pode ter calculado as escolhas dos assessores de forma errada, por exemplo usando C(8,2) ou multiplicando incorretamente as etapas, obtendo 336.
O aluno pode ter calculado C(7,2) como 35 em vez de 21, ou tratado os assessores como distintos em parte do cálculo, obtendo 3 x 8 x 35 = 840.
O aluno provavelmente tratou os dois assessores como posições ordenadas (arranjo de 7 tomados 2 a 2 = 42) ou errou a multiplicação, chegando a 576 por uma contagem que não respeita a indistinção dos assessores.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo combinado com combinação simples: vagas distintas e restrições vêm primeiro, e cargos idênticos contam grupos sem ordem.
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