Uma escola com 120 alunos quer estimar o esporte preferido dos alunos por meio de uma amostra de 30…

Questão

Uma escola com 120 alunos quer estimar o esporte preferido dos alunos por meio de uma amostra de 30 estudantes. Descreva um plano amostral adequado (tipo de amostra, justificativa do tamanho e procedimento de seleção), indique como garantir representatividade por turma e explique como a escolha com e sem reposição afetaria a independência dos eventos; apresente um cálculo exemplificando a probabilidade de seleção de dois alunos específicos em cada caso.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Plano sugerido: usar amostragem estratificada por turma (estratos = turmas) para garantir representatividade; calcular tamanhos proporcionais (ex.: se uma turma tem 20 alunos, incluir 20·30/120=5 na amostra). Procedimento de seleção: listar alunos em cada turma e sortear aleatoriamente o número de alunos calculado em cada estrato. Justificativa do tamanho: 30 representa 25% da população — suficiente para estimativa inicial e exequível logisticamente; ajuste conforme margem de erro desejada. Independência: com reposição cada sorteio é independente (probabilidade de selecionar um aluno específico nas N retiradas é constante); sem reposição as seleções são dependentes porque a retirada altera as probabilidades futuras. Cálculo exemplo: escolha de dois alunos A e B. Com reposição e duas retiradas P(A e B)=P(A)·P(B)=(30/120)·(30/120)= (1/4)·(1/4)=1/16. Sem reposição, se a amostra é de 30 selecionados em sorteio sem reposição a probabilidade de que A e B sejam ambos selecionados quando se sorteiam 30 de 120 é (30/120)·(29/119)= (1/4)·(29/119) ˜0,0608; aqui as probabilidades dependem da ordem/sem reposição.

Explicação

O plano amostral utiliza a amostragem estratificada para garantir que cada turma esteja representada na amostra, o que é fundamental para refletir a diversidade de preferências esportivas. A escolha entre amostragem com ou sem reposição impacta a independência dos eventos, pois com reposição as seleções são independentes, enquanto sem reposição a seleção de um aluno altera a probabilidade de seleção dos demais. O cálculo das probabilidades ilustra como essas condições afetam a chance de selecionar dois alunos específicos, evidenciando a diferença nas abordagens.

Raio-X da questão

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