Em uma turma com 20 alunos (10 meninas e 10 meninos), escolhem-se dois alunos ao acaso sem reposição. Defina…

Questão

Em uma turma com 20 alunos (10 meninas e 10 meninos), escolhem-se dois alunos ao acaso sem reposição. Defina A='primeiro escolhido é menina' e B='segundo escolhido é menina'. Determine P(A), P(B), P(AnB) e conclua se A e B são independentes, justificando matematicamente.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(A)=10/20=1/2. P(AnB)=P(A)·P(B|A)=(10/20)·(9/19)=90/380=9/38 ˜0,2368. Calcule P(B) por probabilidade total: P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)=(9/19)(1/2)+(10/19)(1/2)=1/2. Então P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4=0,25 ? 9/38, logo A e B são dependentes (sem reposição a segunda probabilidade depende da primeira).

Explicação

A probabilidade de A, que é a escolha de uma menina primeiro, é 1/2, pois há 10 meninas entre 20 alunos. A probabilidade conjunta P(AnB) é calculada levando em conta que, após escolher uma menina, restam 9 meninas entre 19 alunos, resultando em 9/38. Como P(A)P(B) não é igual a P(AnB), isso demonstra que os eventos A e B são dependentes, já que a escolha do segundo aluno é influenciada pela escolha do primeiro.

Raio-X da questão

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