Um disco numerado de 1 a 10 é girado (todas as faces igualmente prováveis). Há também um saco com 3 fichas…

Questão

Um disco numerado de 1 a 10 é girado (todas as faces igualmente prováveis). Há também um saco com 3 fichas brancas e 2 pretas. Regra: se o número sorteado no disco for múltiplo de 3, retira-se uma ficha branca do saco antes de sortear uma ficha (ou seja, nesse caso há 2 brancas e 2 pretas restantes); caso contrário, sorteia-se uma ficha do saco original (3 brancas e 2 pretas). Defina A = "número do disco é múltiplo de 3" e B = "ficha sorteada é branca". Determine P(A), P(B|A), P(B|A^c), P(B), P(AnB) e conclua se A e B são independentes, justificando matematicamente.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Passo 1 — P(A): múltiplos de 3 em {1,...,10} são {3,6,9} ? P(A)=3/10. Passo 2 — P(B|A): se A ocorre, remove-se uma branca antes de sortear; então há 2 brancas e 2 pretas ? P(B|A)=2/4=1/2. Passo 3 — P(B|A^c): se A não ocorre, usa-se o saco original com 3 brancas e 2 pretas ? P(B|A^c)=3/5. Passo 4 — P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)= (1/2)·(3/10)+(3/5)·(7/10) = 3/20 + 21/50 = 57/100 = 0,57. Passo 5 — P(AnB)=P(A)·P(B|A) = (3/10)·(1/2) = 3/20 = 0,15. Passo 6 — testar independência: calcular P(A)·P(B) = (3/10)·(57/100) = 171/1000 = 0,171. Como P(AnB)=0,15 ? 0,171 = P(A)P(B), temos P(AnB) ? P(A)P(B), portanto A e B são dependentes. Conclusão: A influência da remoção de uma ficha branca quando A ocorre altera a probabilidade de B, gerando dependência entre os eventos.

Explicação

A análise das probabilidades mostra que a ocorrência do evento A (número do disco ser múltiplo de 3) altera a composição do saco de fichas, impactando diretamente a probabilidade de B (sorteio de uma ficha branca). Os cálculos demonstram que P(AnB) não é igual a P(A)·P(B), indicando que os eventos são dependentes. Assim, a remoção de uma ficha branca em A influencia a chance de B ocorrer, confirmando a dependência entre os eventos.

Raio-X da questão

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