De um conjunto com os números de 1 a 12 escolhem-se, ao acaso e sem reposição, dois números. Defina A = 'a…

Questão

De um conjunto com os números de 1 a 12 escolhem-se, ao acaso e sem reposição, dois números. Defina A = 'a soma dos dois números é par' e B = 'ambos os números são maiores que 6'. Calcule P(A), P(B), P(AnB) e verifique se A e B são independentes. Apresente todos os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Espaço amostral (pares não ordenados): C(12,2)=66. Para A (soma par) é preciso que ambos sejam pares ou ambos ímpares. Em 1..12 há 6 pares e 6 ímpares. Número de pares ambos pares: C(6,2)=15; ambos ímpares: C(6,2)=15. Total favoráveis a A = 15+15 = 30. Logo P(A)=30/66=5/11. Para B (ambos >6) os elementos >6 são {7,8,9,10,11,12}, 6 números; favoráveis = C(6,2)=15 ? P(B)=15/66=5/22. Para AnB: entre {7,…,12} há 3 pares (8,10,12) e 3 ímpares (7,9,11). Pares ambos pares: C(3,2)=3; ambos ímpares: C(3,2)=3; total favoráveis = 6 ? P(AnB)=6/66=1/11. Verificação de independência: se fossem independentes deveríamos ter P(AnB)=P(A)·P(B) = (5/11)·(5/22)=25/242 = 25/242 ˜ 0,1033. Mas P(AnB)=1/11=22/242 ˜ 0,0909. Como 22/242 ? 25/242, A e B não são independentes.

Explicação

Os cálculos realizados para as probabilidades P(A), P(B) e P(AnB) estão baseados na contagem dos casos favoráveis em relação ao total de combinações possíveis de números escolhidos. A verificação da independência entre os eventos A e B é feita comparando P(AnB) com o produto P(A)·P(B), e a diferença encontrada demonstra que os eventos não são independentes. Portanto, a análise está fundamentada em princípios de combinatória e probabilidade, levando a conclusões precisas sobre a relação entre os eventos.

Raio-X da questão

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