Considere o experimento: sorteia-se uniformemente um número x do conjunto {1,2,...,10}. Se x for par…

Questão

Considere o experimento: sorteia-se uniformemente um número x do conjunto {1,2,...,10}. Se x for par, retira-se uma bola, sem reposição, da urna U1 (2 vermelhas, 3 azuis); se x for ímpar, retira-se uma bola, sem reposição, da urna U2 (4 vermelhas, 1 azul). Em seguida, lança-se uma moeda justa (independente). Defina A = 'a bola sorteada é vermelha', B = 'x é múltiplo de 3' e C = 'a moeda dá cara'. a) Calcule P(A), P(B) e P(C). b) Determine se A e C são independentes e calcule P(A n C). c) Determine se A e B são independentes e calcule P(A n B). Mostre todos os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Probabilidades básicas: há 10 números; P(x par)=5/10=1/2, P(x ímpar)=1/2. P(C)=1/2 (moeda justa). 2) P(A|par)=2/5 (U1 tem 2 vermelhas de 5), P(A|ímpar)=4/5 (U2 tem 4 vermelhas de 5). Pela probabilidade total: P(A)=P(par)·P(A|par)+P(ímpar)·P(A|ímpar) = (1/2)·(2/5)+(1/2)·(4/5) = (2/10)+(4/10)=6/10=3/5. 3) Verificar A e C: a moeda é lançada independentemente do número e da urna, logo A e C são independentes. Assim P(A n C)=P(A)·P(C)=(3/5)·(1/2)=3/10. 4) Calcular P(B): múltiplos de 3 em {1,...,10} são {3,6,9}, então P(B)=3/10. 5) Calcular P(A|B): para x em {3,6,9} temos x=3 (ímpar ? P(A)=4/5), x=6 (par ? 2/5), x=9 (ímpar ? 4/5). Então P(A|B) = (4/5+2/5+4/5)/3 = (10/5)/3 = 2/3. 6) Então P(A n B)=P(B)·P(A|B)=(3/10)·(2/3)=1/5. 7) Comparar com P(A)·P(B) = (3/5)·(3/10)=9/50 = 0,18. Como P(A n B)=1/5=0,20 ? 0,18, A e B não são independentes. Conclusões: A e C são independentes com P(A n C)=3/10; A e B são dependentes com P(A n B)=1/5.

Explicação

A resolução utiliza o conceito de probabilidade total para calcular P(A) considerando as diferentes urnas, e a independência entre eventos para verificar a relação entre A e C. A comparação entre P(A n B) e o produto P(A)·P(B) revela que A e B não são independentes, já que os valores são diferentes. Assim, a análise das probabilidades e suas relações permite concluir sobre a independência dos eventos de forma clara e fundamentada.

Raio-X da questão

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