Uma peça é formada por um retângulo de largura x cm e altura 5 cm; sobre essa base foi colocado um semicírculo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma peça é formada por um retângulo de largura x cm e altura 5 cm; sobre essa base foi colocado um semicírculo de diâmetro x. Sabendo que a área total da peça é 200 cm², determine x (cm). Apresente todos os passos algébricos e a solução numérica aproximada.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Área do retângulo: 5x. Área do semicírculo: (1/2)·p·(x/2)² = (p/8) x². A equação é (p/8) x² + 5x = 200. Reescrevendo: (p/8) x² + 5x - 200 = 0. Aplicando fórmula de Bhaskara: a = p/8, b = 5, c = -200. Discriminante ? = b² - 4ac = 25 - 4(p/8)(-200) = 25 + 100p ˜ 339,159. v? ˜ 18,418. Solução positiva: x = (-5 + v?)/(2a) ˜ (-5 + 18,418)/(2·p/8) = 13,418 / (p/4) ˜ 13,418 / 0,785398 ˜ 17,09 cm. (A outra raiz é negativa e desprezada.)
Explicação
A solução envolve a determinação da área total da peça, que é a soma das áreas do retângulo e do semicírculo, levando à formação de uma equação quadrática. A aplicação da fórmula de Bhaskara permite encontrar as raízes dessa equação, das quais apenas a positiva é válida no contexto do problema. O valor encontrado para x representa a largura da peça, que deve ser um número positivo, resultando em uma solução prática para o problema.
Raio-X da questão
área de figuras geométricas
avaliacao
área de retângulo · área de semicírculo
Revisar como calcular a área de retângulos e semicírculos.
O aluno pode confundir a fórmula da área do semicírculo, utilizando o raio em vez do diâmetro, ou vice-versa.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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