No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB. Sabendo AC = 12 cm e BC =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB. Sabendo AC = 12 cm e BC = 35 cm, calcule AH e HB.
- A) HB = 35 - 12 = 23 cm
- B) AB = v(12² - 35²) = 31 cm
- C) AB = v(12²+35²)=37 cm; AH = AC²/AB = 144/37 cm; HB = BC²/AB = 1225/37 cm.
- D) AH = AC + AB = 12 + 35 = 47 cm
- E) AH = 12 · 35 = 420 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem olhar o gabarito. O triângulo ABC é retângulo em C, então AB é a hipotenusa e os catetos são AC = 12 cm e BC = 35 cm. Passo 2: Calculei a hipotenusa pelo Teorema de Pitágoras: AB^2 = 12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369, logo AB = raiz de 1369 = 37 cm. Passo 3: Pelas relações métricas no triângulo retângulo, cada cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Assim, AC^2 = AB · AH, ou seja, AH = 144/37 cm. Também BC^2 = AB · HB, ou seja, HB = 1225/37 cm. Passo 4: Conferência: AH + HB = 144/37 + 1225/37 = 1369/37 = 37 = AB, o que confirma o resultado. Passo 5: Comparando com o gabarito oficial, a alternativa C está correta e coincide com a minha resolução. Por que as outras estão erradas: A subtrai os catetos, o que não tem relação com a altura nem com a hipotenusa; B tenta extrair raiz de um número negativo (12^2 - 35^2 é negativo), o que é impossível em números reais; D soma um cateto com a hipotenusa, mas AH é apenas um segmento da hipotenusa e não pode ser maior que ela; E multiplica os catetos, o que dá a área do triângulo (420 cm^2) e não um comprimento de segmento, além de a unidade estar errada.
💡 Dica: Utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar os segmentos AH e HB.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que HB pode ser obtido subtraindo os catetos (35 - 12), tratando a altura como se fosse uma diferença simples entre medidas dos lados.
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando a soma em vez da soma dos quadrados dos catetos.
O aluno aplica o Pitágoras com sinal trocado, subtraindo os quadrados dos catetos em vez de somá-los, e ainda aceita uma raiz de número negativo como resposta válida.
Primeiro AB = v(12²+35²)=37. Pelas relações de semelhança geradas pela altura: AH = AC²/AB e HB = BC²/AB, resultando em 144/37 e 1225/37 cm.
O aluno imagina que AH é uma medida que se soma ao lado AB, confundindo o segmento AH, parte da hipotenusa, com um comprimento total que supera a própria hipotenusa.
O aluno multiplica os catetos para obter AH, confundindo a relação métrica com a fórmula da área do triângulo, que é metade do produto dos catetos.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e o Teorema de Pitágoras.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando a soma em vez da soma dos quadrados dos catetos.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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