Em uma tirinha hipotética sobre um projeto de entrada para uma universidade, estudantes comparam dois perfis…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma tirinha hipotética sobre um projeto de entrada para uma universidade, estudantes comparam dois perfis parabólicos para um arco. As alturas, em metros, em função da distância horizontal x, também em metros, são modeladas por A(x) = -x^2 + 6x + 7 e B(x) = -2x^2 + 8x + 10, considerando os trechos em que cada perfil encontra o solo. Qual comparação entre os dois perfis é compatível com suas representações geométricas no plano cartesiano?
- A) O perfil B atinge maior altura máxima, mas tem menor largura entre os pontos em que encontra o solo.
- B) O perfil B atinge menor altura máxima, mas tem menor largura entre os pontos em que encontra o solo.
- C) O perfil B atinge a mesma altura máxima, mas tem menor largura entre os pontos em que encontra o solo.
- D) O perfil A atinge menor altura máxima, mas tem menor largura entre os pontos em que encontra o solo.
- E) O perfil A atinge maior altura máxima, mas tem menor largura entre os pontos em que encontra o solo.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Para uma parábola y = ax^2 + bx + c, com a < 0, a altura máxima ocorre no vértice, cuja abscissa é x = -b/(2a).
- Em A(x), o vértice ocorre em x = 3 e sua altura é A(3) = 16. Em B(x), ocorre em x = 2 e sua altura é B(2) = 18. Logo, B atinge maior altura máxima.
- Os zeros de A são x = -1 e x = 7, então sua largura entre os encontros com o solo é 8 m. Os zeros de B são x = -1 e x = 5, então sua largura é 6 m. Portanto, B tem menor largura.
- A alternativa A é compatível com os resultados. B, C, D e E contradizem, respectivamente, a comparação das alturas e/ou das larguras obtidas.
💡 Dica: Compare os vértices e calcule as raízes de cada função.
Alternativa por alternativa
A parábola A tem vértice em (3, 16) e raízes -1 e 7, portanto largura 8 m. A parábola B tem vértice em (2, 18) e raízes -1 e 5, portanto largura 6 m. Assim, B é mais alta no ponto máximo e mais estreita na base.
Confunde a posição do vértice com sua altura e conclui que B é mais baixa; também identifica corretamente que B é mais estreita. Os cálculos dos vértices mostram que B alcança 18 m, contra 16 m de A.
Por que engana: Comparar apenas os coeficientes e concluir a altura ou largura sem calcular vértice e raízes.
Considera iguais as alturas máximas, embora os vértices tenham alturas diferentes: 18 m para B e 16 m para A. A largura menor de B foi identificada corretamente.
Troca a comparação das alturas, atribuindo a menor altura máxima a A, embora A alcance 16 m e B alcance 18 m. Também erra ao dizer que A é mais estreito, pois suas raízes estão mais afastadas.
Afirma que A é mais alto, invertendo as alturas máximas calculadas nos vértices. Também atribui a A a menor largura, embora A tenha largura 8 m e B, 6 m.
Raio-X da questão
Vértice e raízes de funções quadráticas
avaliacao
Coordenadas do vértice da parábola · Resolução de equações do segundo grau
Representação gráfica da função quadrática
Comparar apenas os coeficientes e concluir a altura ou largura sem calcular vértice e raízes.
cotidiano
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