Um cinema independente estima o lucro por sessão, em reais, por meio do polinômio L(x) = -2x^2 + 120x - 1600…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um cinema independente estima o lucro por sessão, em reais, por meio do polinômio L(x) = -2x^2 + 120x - 1600, em que x representa o preço, em reais, de cada ingresso. O modelo considera os custos da sessão e a variação esperada na procura conforme o preço muda. Com base no modelo, para quais preços de ingresso o cinema obtém lucro positivo por sessão?
- A) Para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 60 por ingresso
- B) Para preços acima de R$ 10 e abaixo de R$ 40 por ingresso
- C) Para preços abaixo de R$ 20 ou acima de R$ 40 por ingresso
- D) Para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 40 por ingresso
- E) Para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 50 por ingresso
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Queremos L(x) > 0, ou seja, -2x^2 + 120x - 1600 > 0. Multiplicando por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade): 2x^2 - 120x + 1600 < 0. Dividindo por 2: x^2 - 60x + 800 < 0.
- Encontrar as raízes de x^2 - 60x + 800 = 0. Soma das raízes = 60 e produto = 800. Os números são 20 e 40, pois 20 + 40 = 60 e 20 x 40 = 800. Logo as raízes são x = 20 e x = 40.
- Como o coeficiente de x^2 é positivo na forma x^2 - 60x + 800, a parábola tem concavidade para cima e fica negativa entre as raízes. Portanto x^2 - 60x + 800 < 0 para 20 < x < 40.
- Conclusão: o lucro é positivo para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 40 por ingresso, que é exatamente a alternativa D.
- Verificação das demais. A: o intervalo vai até R$ 60, mas em x = 50 o lucro é L(50) = -5000 + 6000 - 1600 = -600, negativo. B: começa em R$ 10, e em x = 15 o lucro é -450 + 1800 - 1600 = -250, negativo. C: inverte o intervalo; o lucro é negativo fora de (20, 40), e não positivo. E: vai até R$ 50, mas em x = 45 o lucro é -4050 + 5400 - 1600 = -250, negativo.
💡 Dica: Encontre as raízes de -2x²+120x-1600=0 e analise o sinal da parábola com concavidade para baixo.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que a parábola do lucro é positiva até a segunda raiz de forma errada, possivelmente confundindo a raiz 60 (coeficiente de x) com a raiz do polinômio, sem resolver corretamente a equação.
O aluno calcula mal as raízes, tomando 10 como uma delas, provavelmente por erro na soma ou no produto ao fatorar x^2 - 60x + 800.
O aluno inverte o sinal da desigualdade: entende que a região de lucro positivo é externa às raízes, quando, com concavidade para baixo no polinômio original, ela é a região entre as raízes.
Por que engana: Inverter o intervalo de sinal positivo (escolher o exterior às raízes) ou errar o cálculo das raízes.
O polinômio pode ser fatorado como L(x) = -2(x - 20)(x - 40). Como a parábola tem concavidade voltada para baixo, L(x) é positivo entre as raízes 20 e 40.
O aluno obtém corretamente a raiz 20 mas erra a segunda raiz, colocando 50 no lugar de 40, possivelmente por erro de cálculo na fatoração ou na soma das raízes.
Raio-X da questão
Inequação quadrática e sinal da função polinomial de 2º grau
fixacao
Resolução de equações do 2º grau por Bhaskara · Concavidade da parábola
Sinal de função do 2º grau
Inverter o intervalo de sinal positivo (escolher o exterior às raízes) ou errar o cálculo das raízes.
Educação financeira
cotidiano
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