Durante uma olimpíada de robótica, uma equipe analisa um modelo polinomial que representa, em pontos, a…

Questão

Durante uma olimpíada de robótica, uma equipe analisa um modelo polinomial que representa, em pontos, a diferença entre a carga disponível e a carga consumida por um robô ao longo de uma prova. No gráfico descrito pela equipe, a curva é uma parábola com concavidade voltada para cima, cruza o eixo horizontal nos instantes 1 e 7 minutos e tem vértice no ponto (4, -18). O modelo é considerado apenas no intervalo de 0 a 8 minutos. Com base nas informações do gráfico descrito, qual polinômio representa a diferença de carga em função do tempo e em quais intervalos da prova essa diferença é positiva?

1. A) p(t) = 2(t - 1)(t - 7) = 2t^2 - 16t + 14; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, sem incluir os instantes 1 e 7
2. B) p(t) = 3(t - 1)(t - 7) = 3t^2 - 24t + 21; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, sem incluir 1 e 7
3. C) p(t) = 2(t - 1)(t - 7) = 2t^2 - 16t + 14; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, incluindo 1 e 7
4. D) p(t) = 2(t - 1)(t - 7) = 2t^2 - 16t + 14; a diferença é positiva entre 1 e 7 minutos, sem incluir esses instantes
5. E) p(t) = (t - 1)(t - 7) = t^2 - 8t + 7; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, sem incluir 1 e 7

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. As raízes da parábola são t = 1 e t = 7, pois a curva cruza o eixo horizontal nesses instantes. Logo, p(t) = a(t - 1)(t - 7).
2. O vértice está em t = 4, com p(4) = -18. Substituindo: a(4 - 1)(4 - 7) = a(3)(-3) = -9a = -18, portanto a = 2.
3. Desenvolvendo, p(t) = 2(t^2 - 8t + 7) = 2t^2 - 16t + 14.
4. Como a concavidade é voltada para cima (a = 2 > 0), p(t) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. No intervalo considerado de 0 a 8 minutos, p(t) > 0 para 0 ≤ t < 1 e 7 < t ≤ 8. Nos instantes 1 e 7 a diferença é zero, por isso não entram no intervalo positivo.
5. Análise das alternativas erradas. B usa a = 3, o que não corresponde ao vértice (4, -18), pois daria -27. C inclui os instantes 1 e 7, mas nesses pontos p(t) = 0, que não é positivo. D inverte o sinal, indicando positividade entre 1 e 7, quando na verdade a parábola é negativa ali. E usa a = 1, o que daria p(4) = -9, e não -18.
6. Conclusão: a alternativa A é a correta e coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Use a forma fatorada p(t)=a(t-1)(t-7) e determine a pelo vértice.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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