Em uma pesquisa sobre a recuperação de uma área de caatinga, uma equipe definiu S(t) = t² - 8t + 12 para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa sobre a recuperação de uma área de caatinga, uma equipe definiu S(t) = t² - 8t + 12 para representar, em pontos, o desvio de um índice de cobertura vegetal em relação a um valor de referência após t anos, com 0 <= t <= 8. A tabela registra alguns valores: t (anos): 0 | 2 | 4 | 6 | 8; S(t): 12 | 0 | -4 | 0 | 12. Um integrante afirmou: “Como o índice diminui de 12 para -4 entre os anos 0 e 4, ele continua diminuindo até o ano 8.” Considerando o texto, como essa afirmação deve ser avaliada?
- A) A afirmação é falsa: S(t) decresce até t = 4 e cresce de t = 4 a t = 8.
- B) A afirmação é parcialmente correta: S(t) decresce até t = 6 e cresce depois.
- C) A afirmação é falsa: S(t) atinge seu mínimo em t = 6 e cresce até t = 8.
- D) A afirmação é falsa: S(t) atinge seu mínimo em t = 2 e cresce até t = 8.
- E) A afirmação é verdadeira: S(t) decresce de t = 0 até t = 8.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- S(t) = t² - 8t + 12 é uma parábola com concavidade para cima, pois o coeficiente de t² é positivo.
- O vértice ocorre em t = -(-8)/(2·1) = 4. Portanto, S(t) diminui até t = 4 e aumenta depois. A tabela confirma: o valor passa de 12, em t = 0, para -4, em t = 4, e volta a 12, em t = 8.
- A afirmação é falsa, pois o índice não continua diminuindo após o ano 4. A alternativa A descreve corretamente esse comportamento. B erra ao indicar t = 6 como ponto até o qual a função decresce; C indica incorretamente o mínimo em t = 6; D indica incorretamente o mínimo em t = 2; e E afirma que a função decresce durante todo o intervalo.
💡 Dica: Observe o sinal do coeficiente de t² para saber a concavidade da parábola e calcule em que valor de t fica o vértice. Depois compare o comportamento da função antes e depois desse ponto.
Alternativa por alternativa
A função quadrática tem vértice em t = 4, onde atinge seu mínimo, -4. Assim, decresce antes desse ponto e cresce depois dele, como também indicam os valores da tabela.
O aluno pode ter confundido o ponto em que a função volta a valer zero, t = 6, com o ponto em que ocorre a mudança de decrescimento para crescimento. O mínimo acontece em t = 4.
O aluno pode ter tomado t = 6 como o vértice, embora a tabela mostre que S(6) = 0 e S(4) = -4, que é menor. Assim, o mínimo ocorre em t = 4.
O aluno pode ter confundido uma raiz da função, t = 2, com o ponto de mínimo. Em t = 2, S(t) = 0; o mínimo é atingido em t = 4.
O aluno conclui que a queda observada entre t = 0 e t = 4 continua até t = 8, sem considerar a mudança de comportamento após o vértice. A tabela mostra que os valores aumentam de -4 para 12 entre t = 4 e t = 8.
Raio-X da questão
Função quadrática: concavidade, vértice (t = -b/2a) e intervalos de crescimento e decrescimento, com interpretação de tabelas.
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