Um painel decorativo tem formato de cruz, desenhado sobre uma malha em que cada quadradinho mede 0,5 m de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um painel decorativo tem formato de cruz, desenhado sobre uma malha em que cada quadradinho mede 0,5 m de lado. A faixa vertical mede 6 quadradinhos de largura por 10 de altura; a faixa horizontal mede 12 quadradinhos de comprimento por 4 de altura. As faixas se cruzam, e a parte comum mede 6 por 4 quadradinhos. Um estudante calculou 27 m² somando as áreas das duas faixas. A afirmação do estudante está correta? Analise o cálculo e determine a área do painel, explicando o motivo da diferença.
- A) Não. A área é 33 m², pois a parte comum deve ser acrescentada à soma das áreas das duas faixas para completar o painel.
- B) Não. A área é 42 m², pois a união das faixas corresponde a 84 quadradinhos, cada um com área de 0,5 m².
- C) Sim. A área é 27 m², pois basta somar as áreas das faixas vertical e horizontal, sem descontar a parte em que elas se cruzam.
- D) Não. A área é 21 m², pois a soma das faixas conta duas vezes a região comum: 6 × 10 + 12 × 4 - 6 × 4 = 84 quadradinhos, e cada quadradinho tem área de 0,25 m².
- E) Não. A área é 15 m², pois, depois de somar as duas faixas, é preciso descontar duas vezes a região em que elas se cruzam.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule a área de cada faixa em quadradinhos. A faixa vertical tem 6 × 10 = 60 quadradinhos e a horizontal tem 12 × 4 = 48 quadradinhos.
- Calcule a parte comum às duas faixas: 6 × 4 = 24 quadradinhos.
- Calcule a área do painel (a união das faixas). Como a região comum já está contada nas duas faixas, ela deve ser descontada uma única vez: 60 + 48 - 24 = 84 quadradinhos.
- Calcule a área de cada quadradinho. O lado mede 0,5 m, então a área é 0,5 × 0,5 = 0,25 m².
- Calcule a área total: 84 × 0,25 = 21 m².
- Verifique o cálculo do estudante. Ele somou 60 + 48 = 108 quadradinhos e obteve 108 × 0,25 = 27 m². Esse valor conta a região de cruzamento duas vezes, por isso está superestimado. A afirmação do estudante está errada.
- Conclusão. O gabarito D está correto. Alternativa A está errada porque soma a parte comum em vez de descontá-la. Alternativa B está errada porque usa 0,5 m² como área do quadradinho, quando 0,5 m é apenas o lado. Alternativa C está errada porque aceita a soma sem descontar a sobreposição. Alternativa E está errada porque desconta a região comum duas vezes em vez de uma.
💡 Dica: Some as áreas das faixas, subtraia a interseção contada duas vezes e multiplique por 0,25 m².
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a parte comum ainda não foi contada e precisa ser acrescentada à soma das faixas. Na verdade, ela já aparece nas duas faixas e deve ser descontada uma vez.
O aluno confunde o lado do quadradinho (0,5 m) com a sua área e multiplica 84 por 0,5 em vez de 0,25.
O aluno pensa que a sobreposição das faixas não precisa ser descontada, aceitando a soma simples como área do painel. Esse raciocínio ignora que a região comum seria contada duas vezes.
Por que engana: Somar as áreas das faixas sem descontar a interseção ou tratar 0,5 m como área do quadradinho.
As duas faixas têm, juntas, 108 quadradinhos, mas os 24 quadradinhos da interseção foram contados duas vezes. Subtraindo essa sobreposição, restam 84 quadradinhos; como cada um mede 0,25 m², a área total é 21 m².
O aluno percebe que a região comum está superestimada, mas desconta duas vezes em vez de uma. Ele não compreende que a soma já contou a sobreposição exatamente duas vezes, de modo que só é preciso remover uma cópia.
Raio-X da questão
Área da união de retângulos com região sobreposta.
Calcular a área de u
Cálculo da área de retângulos. · Quadrado de uma medida para obter área e uso de unidades quadradas.
Área de quadrados e retângulos; conversão de lado em área.
Somar as áreas das faixas sem descontar a interseção ou tratar 0,5 m como área do quadradinho.
Arte e composição visual.
Atenção e análise crítica de um cálculo apresentado.
Painel decorativo em
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