Uma oficina escolar está construindo uma antena parabólica para captar sinais de comunicação. No corte…

Questão

Uma oficina escolar está construindo uma antena parabólica para captar sinais de comunicação. No corte transversal do refletor, o ponto mais baixo fica no centro, e a borda está 1,2 cm acima desse ponto, a uma distância horizontal de 3 cm do centro em cada lado. Para o modelo, o centro da antena coincide com a origem de um sistema de coordenadas: x representa a distância horizontal, em centímetros, e y representa a altura, em centímetros. A equipe considera que o perfil é uma parábola simétrica em relação ao eixo vertical. Com base nas medidas e na simetria descritas, determine a função quadrática que modela o perfil do refletor. Em seguida, calcule a altura do refletor a 2 cm do centro e a largura total entre os pontos em que ele está 0,6 cm acima do centro. Apresente os cálculos e explique como a simetria é considerada.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como o ponto mais baixo está na origem e o perfil é simétrico em relação ao eixo vertical, o modelo tem a forma y = ax^2. A borda fornece o ponto (3; 1,2), então 1,2 = 9a e a = 1,2/9 = 2/15. Logo, y = (2/15)x^2. A 2 cm do centro, y = (2/15)·4 = 8/15 cm, aproximadamente 0,53 cm. Para y = 0,6 cm, temos 0,6 = (2/15)x^2, portanto x^2 = 4,5 e x = ±3v2/2 cm. Os dois pontos são simétricos; assim, a largura total é 3v2 cm, aproximadamente 4,24 cm.

Explicação

A simetria e o ponto mínimo na origem justificam o modelo y = ax^2. A medida da borda determina a, e a substituição nas relações pedidas fornece a altura e os dois lados da largura, que têm módulos iguais.

Raio-X da questão

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