Em uma oficina de manutenção de equipamentos agrícolas, a equipe calibra um sensor por meio de um ajuste…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de manutenção de equipamentos agrícolas, a equipe calibra um sensor por meio de um ajuste inteiro n, entre 0 e 12. Para cada ajuste, o desvio D, em unidades de medida, em relação ao valor de referência é modelado por D(n) = n^2 - 12n + 20. O sensor é considerado dentro da faixa de calibração quando o desvio é menor ou igual a zero. Com base no modelo e no critério apresentados, quais ajustes inteiros deixam o sensor dentro da faixa de calibração?
- A) Os ajustes inteiros de 3 a 9, inclusive.
- B) Os ajustes inteiros de 2 a 12, inclusive.
- C) Os ajustes inteiros de 0 a 2 e de 10 a 12, inclusive.
- D) Os ajustes inteiros de 0 a 10, inclusive.
- E) Os ajustes inteiros de 2 a 10, inclusive.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Fatorar o modelo D(n) = n^2 - 12n + 20. Procuramos dois números cuja soma é 12 e cujo produto é 20: são 2 e 10. Logo, D(n) = (n - 2)(n - 10). Passo 2: Aplicar o critério de calibração, que exige D(n) menor ou igual a zero, ou seja, (n - 2)(n - 10) menor ou igual a zero. Passo 3: Estudar o sinal do produto. As raízes são n = 2 e n = 10. Como a parábola tem concavidade para cima (coeficiente de n^2 positivo), D é negativo entre as raízes e positivo fora delas. Assim, D(n) menor ou igual a zero para 2 menor ou igual a n menor ou igual a 10. Passo 4: Como n deve ser inteiro entre 0 e 12, os ajustes válidos são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Passo 5: Verificação rápida: D(2) = 4 - 24 + 20 = 0 e D(10) = 100 - 120 + 20 = 0, ambos aceitos porque o critério inclui o zero; D(0) = 20 e D(12) = 20, ambos positivos e, portanto, fora da faixa. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A exclui os extremos 2 e 10, que dão desvio zero e são aceitos pelo critério; B inclui 11 e 12, onde o desvio é positivo; C seleciona justamente a região em que o desvio é positivo, invertendo o sinal; D inclui 0 e 1, onde o desvio é positivo. Conclusão: a alternativa correta é a E, com os ajustes inteiros de 2 a 10, inclusive, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Fatore D(n) e determine em quais valores ela é menor ou igual a zero.
Alternativa por alternativa
O aluno percebeu que o desvio se anula em 2 e 10, mas tratou o critério como estrito (menor que zero) e excluiu os extremos, esquecendo que o enunciado aceita desvio igual a zero.
Por que engana: Considerar apenas os valores entre as raízes sem verificar se a desigualdade inclui os extremos.
O aluno errou as raízes do polinômio, tomando 12 (a soma dos fatores) como raiz, e assim incluiu valores até 12 onde o desvio já é positivo.
O aluno inverteu o sinal da parábola, achando que D é menor ou igual a zero fora das raízes, como acontece em parábolas com concavidade para baixo; por isso selecionou 0 a 2 e 10 a 12.
O aluno acertou o limite superior 10, mas considerou 0 como raiz ou não testou o valor n = 0, incluindo ajustes em que o desvio, igual a 20, é positivo.
Fatorando, D(n) = (n - 2)(n - 10). Como a parábola tem concavidade para cima, D(n) é menor ou igual a zero entre as raízes, inclusive; nesse intervalo, os ajustes inteiros são de 2 a 10.
Raio-X da questão
Inequação quadrática e análise do sinal da função.
Determinar os valore
Fatoração de trinômios do segundo grau. · Comparação de números inteiros e interpretação de intervalos.
Raízes de trinômio quadrático e intervalo em que a parábola é não positiva.
Considerar apenas os valores entre as raízes sem verificar se a desigualdade inclui os extremos.
Calibração de sensor
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