Uma cooperativa de alimentos acompanha o resultado líquido de uma linha de produção conforme o número n de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de alimentos acompanha o resultado líquido de uma linha de produção conforme o número n de lotes preparados por semana. Um modelo simplificado, válido para n inteiro entre 0 e 40, é P(n) = -2n^2 + 84n - 640, em que P(n) é o resultado em reais. Valores positivos indicam que a produção gerou saldo após os custos considerados. Com base no modelo, para quais quantidades inteiras de lotes a cooperativa obtém resultado positivo?
- A) De 10 a 32 lotes por semana, inclusive.
- B) De 0 a 31 lotes por semana, inclusive.
- C) De 0 a 9 lotes ou de 33 a 40 lotes por semana.
- D) De 11 a 31 lotes por semana, inclusive.
- E) De 11 a 40 lotes por semana, inclusive.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A condição para resultado positivo é P(n) > 0, ou seja, -2n^2 + 84n - 640 > 0. Passo 2: Dividindo tudo por -2 e invertendo o sinal da desigualdade, obtemos n^2 - 42n + 320 < 0. Passo 3: Calculamos as raízes de n^2 - 42n + 320 = 0. O discriminante é 42^2 - 4*320 = 1764 - 1280 = 484, cuja raiz quadrada é 22. Logo n = (42 - 22)/2 = 10 e n = (42 + 22)/2 = 32. Passo 4: Como o coeficiente de n^2 é positivo, a parábola n^2 - 42n + 320 fica abaixo do eixo (valores negativos) apenas entre as raízes. Assim, 10 < n < 32. Passo 5: Verificação direta: P(10) = -200 + 840 - 640 = 0 e P(32) = -2048 + 2688 - 640 = 0, então esses dois valores dão resultado zero, não positivo, e ficam de fora. Para n = 11, P(11) = -242 + 924 - 640 = 42 > 0, e para n = 31, P(31) = -1922 + 2604 - 640 = 42 > 0. Passo 6: Portanto, os valores inteiros com resultado positivo são de 11 a 31, inclusive, o que corresponde à alternativa D. Passo 7: A alternativa A está errada porque inclui 10 e 32, que produzem resultado zero e não saldo positivo. A alternativa B está errada porque n = 0 dá P(0) = -640, que é negativo. A alternativa C está errada porque é o complemento do intervalo correto, ou seja, usa o sinal negativo quando se pede o positivo. A alternativa E está errada porque para n = 40 temos P(40) = -3200 + 3360 - 640 = -480, negativo, e para valores acima de 32 o resultado já é negativo.
💡 Dica: Resolva P(n)>0 e restrinja a solução aos inteiros entre 0 e 40.
Alternativa por alternativa
Considera que zero também é saldo positivo, incluindo as raízes 10 e 32 onde P(n) = 0. Confunde resultado nulo (ponto de equilíbrio) com resultado positivo.
Por que engana: Incluir as raízes, embora o resultado positivo exija desigualdade estrita.
Supõe que o intervalo começa em 0 porque é o início do domínio do modelo, sem testar o valor de P(0), que é -640. Não verifica o sinal da função nos extremos do domínio.
Encontra corretamente as raízes 10 e 32, mas inverte o sinal da desigualdade e escolhe a região onde P(n) é negativa. Ao dividir por -2 esquece de trocar o sentido da desigualdade ou confunde a concavidade.
Fatorando, P(n) = -2(n - 10)(n - 32). Como a parábola tem concavidade para baixo, P(n) é positivo entre as raízes 10 e 32. Como n é inteiro, os valores possíveis vão de 11 a 31.
Acredita que o resultado continua positivo para lotes acima de 32, como se a função crescesse indefinidamente. Não percebe que a parábola tem concavidade para baixo e volta a ficar negativa após a segunda raiz.
Raio-X da questão
Sinal de função quadrática entre suas raízes.
Determinar os valore
Fatoração ou resolução de equações quadráticas. · Ordenação de números inteiros e desigualdades.
Inequações quadráticas e interpretação de raízes.
Incluir as raízes, embora o resultado positivo exija desigualdade estrita.
Trabalho e educação financeira.
Produção e resultado
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