— Precisamos saber a distância até o ponto B na outra margem para planejar a ponte, disse Helena ao colega…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Precisamos saber a distância até o ponto B na outra margem para planejar a ponte, disse Helena ao colega Paulo. Eles posicionaram-se em A e C, pontos distintos na margem do rio, separados por 100 m de trilha reta. Do ponto A, Paulo mediu o ângulo formado entre a trilha AC e a linha de visada a B como 60 graus. Em C, Helena registrou o ângulo entre a mesma trilha e a linha de visada a B como 45 graus. Com esses dados, os engenheiros pretendem calcular a distância CB para definir as fundações da ponte. Analise o texto-base e determine a distância aproximada entre os pontos C e B, em metros.
- A) 80 m
- B) 90 m
- C) 85 m
- D) 95 m
- E) 100 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo ABC formado pelos pontos A, B e C. O lado AC mede 100 m. O ângulo em A é 60 graus (ângulo entre a trilha AC e a visada AB) e o ângulo em C é 45 graus (ângulo entre a trilha CA e a visada CB). Passo 2: Calcule o ângulo em B, já que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus: B = 180 - 60 - 45 = 75 graus. Passo 3: Aplique a lei dos senos, que relaciona cada lado ao seno do ângulo oposto: CB / sen(A) = AC / sen(B). Como CB é o lado oposto ao ângulo A de 60 graus, temos CB = AC x sen(60) / sen(75). Passo 4: Substitua os valores: sen(60) é aproximadamente 0,866 e sen(75) é aproximadamente 0,966. Assim CB = 100 x 0,866 / 0,966, que dá aproximadamente 89,7 m, ou seja, cerca de 90 m. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é a B (90 m), que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A (80 m) está errada porque o valor real fica acima de 89 m. A alternativa C (85 m) está errada porque o cálculo com a lei dos senos resulta em quase 90 m, não 85 m. A alternativa D (95 m) está errada porque é um valor acima do resultado obtido. A alternativa E (100 m) está errada porque supõe que CB seja igual a AC, o que só ocorreria se os ângulos em A e em C fossem iguais.
💡 Dica: Use a lei dos senos para calcular a distância CB.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente fez uma estimativa grosseira ou arredondou em excesso os senos, obtendo um valor abaixo do real sem conferir o cálculo pela lei dos senos.
Por que engana: Confundir os ângulos dados ou aplicar a lei dos senos incorretamente, resultando em cálculo errado da distância.
Pela lei do seno BC = 100·sin(60°)/sin(75°) ˜ 89,7 m, arredondando para 90 m.
O aluno provavelmente chegou a um valor intermediário por aproximação visual, sem usar a lei dos senos com precisão, ou calculou mal o seno de 75 graus.
O aluno provavelmente arredondou sen(75 graus) para um valor próximo de 0,9 ou fez a divisão de forma imprecisa, obtendo um resultado acima de 90 m.
O aluno supôs que o triângulo fosse isósceles ou que CB fosse igual a AC, ignorando que os ângulos em A (60 graus) e em C (45 graus) são diferentes e que a lei dos senos deve ser aplicada.
Raio-X da questão
Lei dos senos, triangulo, angulos
avaliacao
Propriedades dos triângulos · Trigonometria básica
Estude a lei dos senos e propriedades dos triângulos.
Confundir os ângulos dados ou aplicar a lei dos senos incorretamente, resultando em cálculo errado da distância.
pensamento_critico
cotidiano
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