Um relatório de restauro descreveu a forma do arco de um portal colonial que será reconstituído. A altura…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um relatório de restauro descreveu a forma do arco de um portal colonial que será reconstituído. A altura h(x), em metros, no ponto de abscissa x, em metros, ao longo da base do arco segue a função h(x)=-0,5x^2+4x+1, para 0 = x = 8. Foi definido que a passagem útil deverá manter altura igual ou superior a 3 metros. Analise o texto e determine o comprimento, em metros, do trecho central em que a altura permanece igual ou superior a 3 metros.
- A) 4 raiz quadrada de 6
- B) 2 raiz quadrada de 3
- C) 4 raiz quadrada de 3
- D) 8 raiz quadrada de 3
- E) 4 raiz quadrada de 2
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Queremos os valores de x em que h(x) >= 3, ou seja, -0,5x^2 + 4x + 1 >= 3. Passo 2: Subtraindo 3 dos dois lados, temos -0,5x^2 + 4x - 2 >= 0. Passo 3: Multiplicando por -2 (o que inverte o sentido da desigualdade), obtemos x^2 - 8x + 4 <= 0. Passo 4: As raízes da equação x^2 - 8x + 4 = 0 são dadas por x = (8 ± raiz de (64 - 16)) / 2 = (8 ± raiz de 48) / 2 = 4 ± 2 raiz de 3. Passo 5: Como a parábola tem concavidade para cima, a desigualdade x^2 - 8x + 4 <= 0 vale entre as raízes: de 4 - 2 raiz de 3 (aproximadamente 0,54) até 4 + 2 raiz de 3 (aproximadamente 7,46). Ambas estão dentro do intervalo 0 <= x <= 8 do domínio. Passo 6: O comprimento do trecho é (4 + 2 raiz de 3) - (4 - 2 raiz de 3) = 4 raiz de 3 metros, alternativa C. Passo 7: A alternativa A (4 raiz de 6) está errada porque o discriminante foi calculado de forma incorreta. A alternativa B (2 raiz de 3) está errada porque é apenas a metade do comprimento, a distância do centro até uma extremidade. A alternativa D (8 raiz de 3) está errada porque dobra indevidamente o comprimento correto. A alternativa E (4 raiz de 2) está errada porque decorre de uma equação auxiliar com constante incorreta, x^2 - 8x + 8. O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Resolva a inequação h(x) ≥ 3 e calcule a distância entre os pontos de interseção.
Alternativa por alternativa
Calculou o discriminante ou a raiz de forma errada, obtendo raiz de 96 ou 2 raiz de 24 e não simplificando corretamente. Por exemplo, trocou 4 por 6 ao reduzir a expressão sob a raiz.
Por que engana: O aluno pode encontrar corretamente as raízes da equação h(x)=3, mas escolher uma raiz como comprimento ou considerar o intervalo externo em vez do trecho central.
Encontrou a distância entre o centro do arco e uma das extremidades (2 raiz de 3) e tomou esse valor como o comprimento total do trecho, esquecendo de dobrá-lo.
A altura mínima exigida é atingida nos pontos em que h(x)=3. Resolvendo -0,5x^2+4x+1=3, obtêm-se x=4-2√3 e x=4+2√3. O comprimento do trecho entre esses pontos é a diferença entre eles, igual a 4√3 metros.
Obteve corretamente 4 raiz de 3 como metade ou como comprimento de uma semi-largura, mas depois multiplicou por 2 de novo, aplicando a dupla contagem indevidamente.
Ao eliminar os decimais e transformar a inequação, errou a constante e usou x^2 - 8x + 8 <= 0, cujas raízes levam a 4 raiz de 2 de comprimento.
Raio-X da questão
Inequação quadrática e parábola
avaliacao
Resolução de equações quadráticas · Interpretação de função quadrática
Revise a resolução de inequações do segundo grau e a interpretação das raízes como limites de um intervalo.
O aluno pode encontrar corretamente as raízes da equação h(x)=3, mas escolher uma raiz como comprimento ou considerar o intervalo externo em vez do trecho central.
cidadania_etica
tomada_decisao
historico
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