Como garantir cercas eficientes sem desperdiçar material? Em um estudo piloto, engenheiros investigaram…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Como garantir cercas eficientes sem desperdiçar material? Em um estudo piloto, engenheiros investigaram pentágonos regulares de diferentes comprimentos de lado para calcular o material necessário. Obtiveram os seguintes dados: Comprimento do lado (cm): 2 | 4 | 6 | 8 Perímetro (cm): 10 | 20 | 30 | 40 Área (cm2): 6,88 | 27,52 | 61,97 | 110,59 Os resultados mostram como o perímetro e a área variam conforme o lado cresce. Analise os valores do texto-base e identifique qual grandeza varia de forma quadrática em relação ao comprimento do lado.
- A) A área do pentágono regular varia de forma quadrática em relação ao comprimento do lado.
- B) Ambas as grandezas variam de forma quadrática em relação ao comprimento do lado.
- C) O perímetro do pentágono regular varia de forma quadrática em relação ao comprimento do lado.
- D) O perímetro varia linearmente e a área varia de forma linear em relação ao comprimento do lado.
- E) Nenhuma das grandezas varia de forma quadrática em relação ao comprimento do lado.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o perímetro. Como o pentágono regular tem 5 lados iguais, P = 5 × s, em que s é o comprimento do lado. Assim, s = 2 dá P = 10, s = 4 dá P = 20, s = 6 dá P = 30 e s = 8 dá P = 40. Ao dobrar o lado, o perímetro dobra, o que caracteriza variação linear (proporcionalidade direta com s). Passo 2: Analise a área. Os dados da tabela mostram que, ao dobrar o lado de 2 para 4, a área passa de 6,88 para 27,52, ou seja, quadruplica (27,52 / 6,88 = 4). Isso indica que a área depende do quadrado do lado. Passo 3: Confirme com a fórmula da área do pentágono regular, A = (5/4) × cotangente de 36° × s^2, que é aproximadamente 1,72 × s^2. Para s = 2, obtém-se 1,72 × 4 = 6,88; para s = 4, 1,72 × 16 = 27,52; para s = 6, 1,72 × 36 = 61,97; para s = 8, 1,72 × 64 = 110,59. Todos batem com a tabela. Logo, a área é quadrática em relação ao lado. Passo 4: Compare com o gabarito. A alternativa A está correta, e o gabarito oficial também indica A. Por que as outras estão erradas: B afirma que ambas são quadráticas, mas o perímetro é linear; C inverte as grandezas, atribuindo variação quadrática ao perímetro; D afirma que a área é linear, mas ela quadruplica quando o lado dobra; E nega que alguma grandeza seja quadrática, desconsiderando que a área é quadrática.
💡 Dica: Analise a relação entre lado, perímetro e área para identificar variação quadrática.
Alternativa por alternativa
A área de um polígono regular depende do quadrado do lado, exibindo crescimento quadrático conforme os dados indicam.
O aluno acredita que o perímetro também cresce com o quadrado do lado, talvez por generalizar a área para todas as grandezas de figuras planas. Não percebe que o perímetro é a soma dos lados e cresce na mesma proporção que o lado.
Por que engana: Confundir variação linear com quadrática, pensando que perímetro e área crescem da mesma forma.
O aluno confunde perímetro com área, associando a grandeza que mede a 'superfície' do polígono à variação quadrática. Não percebe que o perímetro é uma soma de comprimentos (5 × s).
O aluno supõe que a área cresce proporcionalmente ao lado, sem verificar os valores da tabela. Ao dobrar o lado, a área quadruplica e não dobra, o que o aluno não percebe.
O aluno não reconhece o padrão da tabela e conclui que nenhuma grandeza varia quadraticamente, possivelmente por não relacionar a área ao quadrado do lado. Não calcula a razão entre as áreas (27,52 / 6,88 = 4).
Raio-X da questão
variação quadrática área lado
avaliacao
função quadrática básica · propriedades do perímetro
Estude propriedades do perímetro e área de polígonos regulares e funções quadráticas.
Confundir variação linear com quadrática, pensando que perímetro e área crescem da mesma forma.
pensamento_critico
cotidiano
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