Nas margens de um rio, uma cooperativa instalou uma horta retangular. Para cercar o terreno, usarão o rio como…

Questão

Nas margens de um rio, uma cooperativa instalou uma horta retangular. Para cercar o terreno, usarão o rio como um dos lados, não precisando de cerca nesse trecho. Com 120 metros de tela de arame, planejam instalar o cercado nos três lados restantes: dois laterais iguais de comprimento x e um lado oposto ao rio de comprimento (120 - 2x). A área A(x) em metros quadrados, portanto, pode ser modelada pela função polinomial de 2º grau A(x) = x·(120 - 2x). Com base no texto-base, determine a largura x que maximiza a área da horta.

1. A) 30 m
2. B) 20 m
3. C) 40 m
4. D) 15 m
5. E) 60 m

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Identifique a função. A(x) = x·(120 - 2x) = 120x - 2x^2, que é uma parábola com a = -2 (negativo), então ela tem ponto de máximo, que é o vértice. Passo 2: Calcule a abscissa do vértice pela fórmula x_v = -b/(2a). Aqui b = 120 e a = -2, logo x_v = -120/(2·(-2)) = -120/(-4) = 30. Passo 3: Verifique o resultado. Para x = 30, o lado oposto ao rio mede 120 - 2·30 = 60 m e a área é 30·60 = 1800 m^2. Para qualquer outro valor de x a área é menor, por exemplo x = 20 dá 20·80 = 1600 m^2 e x = 40 dá 40·40 = 1600 m^2. Passo 4: Conclusão. A largura que maximiza a área é x = 30 m, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B) 20 m gera área menor que a máxima; C) 40 m é o valor que divide a tela igualmente entre os três lados, mas não maximiza a área; D) 15 m não é o vértice da parábola; E) 60 m é a raiz de A(x) = 0, ou seja, o valor em que a área se anula, não o máximo.

💡 Dica: Use a fórmula da área e derive para encontrar o valor de x que maximiza a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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