Segundo relatório divulgado pela construtora Atlante, a receita R(q), em reais, obtida com a venda de q…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Segundo relatório divulgado pela construtora Atlante, a receita R(q), em reais, obtida com a venda de q unidades de um empreendimento segue a função quadrática R(q) = -2q^2 + 200q - 3000. O gráfico dessa função é uma parábola cujo vértice indica o volume de vendas que maximiza a receita e o valor dessa receita máxima. Com base no texto-base, identifique as coordenadas do vértice da parábola que representa a receita.
- A) As coordenadas do vértice são (50, 2000)
- B) As coordenadas do vértice são (50, -2000)
- C) As coordenadas do vértice são (100, 0)
- D) As coordenadas do vértice são (25, 1500)
- E) As coordenadas do vértice são (-50, 2000)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes da função R(q) = -2q^2 + 200q - 3000: a = -2, b = 200 e c = -3000. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é o ponto de máximo. Passo 2: Calcule a coordenada q do vértice pela fórmula q_v = -b/(2a) = -200/(2 * -2) = -200/-4 = 50. Isso indica que o volume de vendas que maximiza a receita é de 50 unidades. Passo 3: Calcule a receita máxima substituindo q = 50 na função: R(50) = -2 * 50^2 + 200 * 50 - 3000 = -5000 + 10000 - 3000 = 2000. Logo, o vértice é (50, 2000), o que corresponde à alternativa A. Passo 4: Confira pela fórmula alternativa, em que R_v = -delta/(4a), com delta = b^2 - 4ac = 40000 - 24000 = 16000. Então R_v = -16000/(4 * -2) = -16000/-8 = 2000, o que confirma o resultado. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a B troca o sinal do valor máximo, mas a receita máxima é positiva porque o vértice fica acima do eixo q. A C confunde o vértice com um ponto qualquer da função, já que R(100) = -3000 e o valor 0 não é a receita máxima. A D usa 25, que é uma raiz da função (R(25) = 0), e não a coordenada do vértice. A E inverte o sinal da abscissa do vértice, mas q representa quantidade e o vértice está em q = 50, não em q = -50.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a para q e substitua para encontrar R(q).
Alternativa por alternativa
xv = -b/(2a) = -200/(2·-2)=50; R(50) = -2·2500 +10000 -3000 = 2000, ponto de máximo.
O aluno acertou a abscissa 50, mas errou o sinal ao calcular a receita máxima, provavelmente por descuido nas contas com números negativos. Ele não percebeu que a receita máxima de uma parábola com concavidade para baixo deve ser o maior valor da função, que é positivo.
Por que engana: Confundir o sinal dos coeficientes ao calcular o vértice ou esquecer de substituir para encontrar o valor da receita.
O aluno calculou -b/a = 100 e esqueceu o fator 2 do denominador da fórmula do vértice, além de não substituir o valor na função para encontrar a receita máxima. Ele também parece ter tomado o ponto onde a receita se anula por ponto de máximo.
O aluno confundiu o vértice com as raízes da função: 25 é uma das raízes de R(q) = 0, obtidas resolvendo q^2 - 100q + 1500 = 0. Ele não entendeu que o vértice é o ponto de máximo, e não um ponto onde a receita é zero.
O aluno calculou corretamente o módulo da abscissa, mas errou o sinal ao aplicar -b/(2a), tratando o resultado como negativo. Ele não observou que, com a = -2 e b = 200, o resultado é positivo, e que a quantidade vendida não pode ser negativa.
Raio-X da questão
vértice de função quadrática
avaliacao
função quadrática básica
Estude como calcular o vértice de uma função quadrática e interpretar seu significado.
Confundir o sinal dos coeficientes ao calcular o vértice ou esquecer de substituir para encontrar o valor da receita.
tomada_decisao
cotidiano
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