Por que o lucro de uma pequena companhia de teatro cresce até certo ponto e depois diminui? Para estudar essa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o lucro de uma pequena companhia de teatro cresce até certo ponto e depois diminui? Para estudar essa variação, o gerente modelou o lucro L, em centenas de reais, em função do número de ingressos vendidos x, em dezenas, pela expressão L(x) = -2x^2 + 40x. Esse modelo indica que existem valores de x em que o lucro é máximo. Analise o texto-base e identifique as coordenadas do vértice da parábola que representa o lucro em função da quantidade de ingressos vendidos.
- A) (20, 400)
- B) (10, 200)
- C) (5, 100)
- D) (10, -200)
- E) (-10, 200)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A parábola que representa o lucro é L(x) = -2x^2 + 40x, com a = -2, b = 40 e c = 0. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.
- A abscissa do vértice é xv = -b/(2a) = -40/(2 * (-2)) = -40/(-4) = 10. Isso significa 10 dezenas de ingressos, ou seja, 100 ingressos vendidos.
- Calculamos o lucro máximo substituindo x = 10 na expressão: L(10) = -2 * 10^2 + 40 * 10 = -200 + 400 = 200. Como L está em centenas de reais, o lucro máximo corresponde a 20000 reais.
- Portanto, o vértice é (10, 200), que é a alternativa B, igual ao gabarito oficial.
- A alternativa A está errada porque x = 20 não é a abscissa do vértice, e L(20) = 0. A alternativa C está errada porque x = 5 não corresponde ao vértice, e L(5) = 150. A alternativa D está errada porque x = 10 está correto, mas o lucro máximo é positivo, 200, e não -200. A alternativa E está errada porque x = -10 é negativo, e uma quantidade de ingressos não pode ser negativa.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula x = -b/(2a) e substitua para encontrar L(x).
Alternativa por alternativa
O aluno calculou -b/a, esquecendo de multiplicar o a por 2 no denominador, e obteve x = 20. Depois, atribuiu a y um valor incorreto, sem substituir x na função.
Por que engana: Confundir os coeficientes da função quadrática ou calcular incorretamente o vértice, resultando em valores errados para x e L(x).
Para f(x)= -2x^2+40x, x_v=-b/(2a)=40/(4)=10, e L(10)= -2·100+400=200.
O aluno usou 4a no denominador da fórmula da abscissa, obtendo x = 5, e depois associou um valor de lucro que não corresponde à função, já que L(5) = 150.
O aluno encontrou corretamente x = 10, mas errou o sinal ao substituir na função, ou confundiu o sinal do lucro máximo, escrevendo -200 em vez de 200.
O aluno trocou o sinal ao aplicar a fórmula, calculando x = b/(2a) = 40/(-4) = -10, e não -b/(2a). Ele também não percebeu que uma quantidade de ingressos não pode ser negativa.
Raio-X da questão
vértice da parábola
diagnostico
função quadrática básica · fórmula do vértice
Estude como calcular o vértice de uma função quadrática.
Confundir os coeficientes da função quadrática ou calcular incorretamente o vértice, resultando em valores errados para x e L(x).
pensamento_critico
cotidiano
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