Em um laboratório de biotecnologia, uma cultura de leveduras foi monitorada durante oito horas. As contagens…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um laboratório de biotecnologia, uma cultura de leveduras foi monitorada durante oito horas. As contagens registradas foram: Tempo t (em horas): 0, 2, 4, 6, 8 Número de células N(t): 100, 200, 400, 800, 1600 Para modelar esse crescimento, os pesquisadores adotaram a função N(t) = 100 · e^(kt), em que k é uma constante, e observaram que a cada duas horas o número de células dobrava. Com base nos dados do texto-base, determine o valor aproximado da constante de crescimento k, em h?¹, na função N(t) = 100 · e^(kt).
- A) 1,386 h⁻¹
- B) 0,693 h⁻¹
- C) 0,230 h⁻¹
- D) 0,347 h⁻¹
- E) 0,462 h⁻¹
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A função é N(t) = 100 · e^(kt). O enunciado diz que o número de células dobra a cada duas horas, então N(2) = 2 · N(0) = 200. Os dados da tabela confirmam isso: N(0) = 100 e N(2) = 200.
- Substituindo t = 2 e N(2) = 200 na função: 200 = 100 · e^(2k).
- Dividindo os dois lados por 100: e^(2k) = 2.
- Aplicando logaritmo natural dos dois lados: 2k = ln(2).
- Isolando k: k = ln(2) / 2. Como ln(2) é aproximadamente 0,693, temos k é aproximadamente 0,693 / 2 = 0,347 h^-1.
- Conferência com outro par de dados: N(8) = 1600 = 100 · e^(8k) dá e^(8k) = 16, logo k = ln(16)/8 = 2,773/8, que também é aproximadamente 0,347 h^-1. Assim a constante é coerente com toda a tabela.
- Por que as outras estão erradas. A (1,386) é ln(4), que corresponde a uma razão de 4 e não de 2. B (0,693) é ln(2), que esquece de dividir por 2 ao isolar k. C (0,230) é aproximadamente ln(2)/3, dividindo por um intervalo errado. E (0,462) é aproximadamente ln(4)/3, combinando o erro da razão 4 com a divisão por 3.
- Resposta final: alternativa D, k aproximadamente 0,347 h^-1, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a relação do logaritmo natural para encontrar a constante k na função exponencial.
Alternativa por alternativa
Tomou como fator de crescimento a razão 4 (de 100 para 400) e calculou k = ln(4), esquecendo que o dobramento ocorre a cada 2 horas e não a cada unidade de tempo.
Por que engana: Confundir a base do logaritmo ou aplicar incorretamente a fórmula para encontrar k.
Obteve corretamente e^(2k) = 2, mas ao isolar k escreveu k = ln(2) sem dividir por 2, ignorando o expoente 2 que multiplica k.
Aplicou ln(2) mas dividiu por 3 em vez de 2, possivelmente confundindo o intervalo de duas horas com três horas ou errando a manipulação do expoente.
Usando os valores inicial e final, temos 1600 = 100 · e^(8k). Assim, e^(8k) = 16 e, portanto, 8k = ln 16. Como ln 16 = 4 ln 2, resulta em k = (ln 16)/8 = (4 ln 2)/8 = (ln 2)/2 ≈ 0,347 h⁻¹.
Partiu da razão 4 (ln(4)) e ainda dividiu por 3, combinando a leitura incorreta dos dados com um erro no divisor do expoente.
Raio-X da questão
função exponencial e logaritmo
avaliacao
função exponencial básica · logaritmo natural
Estude propriedades de funções exponenciais e logaritmos naturais.
Confundir a base do logaritmo ou aplicar incorretamente a fórmula para encontrar k.
pensamento_critico
cientifico
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