— Você já pensou como ajustar o preço do ingresso para obter o maior lucro num festival de cinema itinerante?…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Você já pensou como ajustar o preço do ingresso para obter o maior lucro num festival de cinema itinerante? — questiona Luiza, organizadora do evento que viaja por diversas cidades. Ela modelou o lucro diário em função da quantidade x de ingressos vendidos: P(x)= -2x^2 +120x -800. Esse polinômio indica que, ao vender poucos ou muitos bilhetes, o lucro cai. Analise o texto-base e identifique as coordenadas (x, P(x)) do vértice da parábola que representa o lucro máximo do festival.
- A) (15, 1000)
- B) (60, 1000)
- C) (30, 1000)
- D) (30, 1200)
- E) (30, 800)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes do polinômio P(x) = -2x^2 + 120x - 800: a = -2, b = 120 e c = -800. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é ponto de máximo, que é exatamente o lucro máximo procurado.
- Calcule a abscissa do vértice pela fórmula x_v = -b/(2a). Temos x_v = -120/(2 · (-2)) = -120/(-4) = 30. Assim, o lucro máximo ocorre com a venda de 30 ingressos.
- Calcule a ordenada do vértice substituindo x = 30 em P(x): P(30) = -2 · 30^2 + 120 · 30 - 800 = -2 · 900 + 3600 - 800 = -1800 + 3600 - 800 = 1000. Portanto, o vértice é (30, 1000).
- Confira com o gabarito oficial. A resposta C, (30, 1000), coincide com o resultado obtido, então o gabarito está correto.
- Por que as outras estão erradas. A (15, 1000) tem abscissa errada, pois 15 não é o resultado de -b/(2a). B (60, 1000) tem abscissa errada, pois 60 seria obtido ao esquecer o fator 2 do denominador. D (30, 1200) tem a abscissa certa, mas a ordenada está errada, pois P(30) é 1000, não 1200. E (30, 800) também tem a abscissa certa, mas usa o termo independente -800, que é o ponto em que a parábola cruza o eixo y (quando x = 0), e não o valor máximo.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a para x e substitua para encontrar P(x).
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a abscissa do vértice usando um denominador errado (dividiu 120 por 8, em vez de dividir por -4), chegando a x = 15, e acertou ou assumiu a ordenada 1000 sem refazer o cálculo.
O aluno esqueceu o fator 2 da fórmula x_v = -b/(2a) e calculou apenas -b/a = -120/(-2) = 60, obtendo a abscissa errada.
O vértice ocorre em x= -b/(2a)=120/(4)=30 e P(30)= -2·900+3600-800=1000, ponto de lucro máximo.
O aluno encontrou corretamente x = 30, mas errou a conta da ordenada, por exemplo ao subtrair 600 em vez de 800 no termo independente (1800 - 600 = 1200), ou ao cometer erro de sinal nas parcelas.
Por que engana: Confundir o cálculo do vértice, usando valores errados para a e b, ou não substituir corretamente para encontrar P(x).
O aluno tomou o termo independente -800 como o valor máximo do lucro, confundindo o vértice da parábola com o ponto em que ela corta o eixo y (x = 0).
Raio-X da questão
vértice da parábola, função quadrática
avaliacao
função quadrática básica
Estude como encontrar o vértice de uma função quadrática e interpretar seu significado.
Confundir o cálculo do vértice, usando valores errados para a e b, ou não substituir corretamente para encontrar P(x).
pensamento_critico
cotidiano
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