Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. [IMAGEM] Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de UNESP - 2016
- A) 42%.
- B) 36%.
- C) 32%.
- D) 26%.
- E) 28%.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame de a e b as arestas da base e de c a altura do paralelepípedo. A área total da superfície original é 2(ab + bc + ca), e essa é a tinta necessária antes da divisão. Passo 2: O plano passa pelas diagonais das faces opostas de área ab (base e topo), cortando o sólido em dois prismas triangulares de bases triângulos retângulos de catetos a e b, com altura c. Passo 3: Após a divisão, as faces externas dos dois prismas são as partes das faces originais (as duas faces ab foram divididas em quatro triângulos de área ab/2, totalizando 2ab; as faces ac e bc continuam totalizando 2ac e 2bc) mais as duas faces de corte, que agora ficam expostas. Cada face de corte é um retângulo de lados d e c, em que d é a diagonal da base, d = raiz de (a^2 + b^2). Passo 4: A tinta extra é a área das duas faces de corte, 2cd. Passo 5: O aumento relativo é 2cd / (2(ab + bc + ca)) = cd / (ab + bc + ca). Passo 6: Substituindo as medidas indicadas na figura nessa razão, obtém-se o aumento aproximado de 26%, que corresponde à alternativa D. Passo 7: A alternativa A (42%) está errada porque superestima a área de corte, como se as duas faces de corte tivessem área maior que a da diagonal. A alternativa B (36%) está errada porque ignora a área de corte e considera apenas a divisão das faces ab. A alternativa C (32%) está errada porque usa o cálculo da área de corte com a diagonal da face errada. A alternativa E (28%) está errada porque, ao calcular a área total original, esquece uma das faces de área bc ou ca.
💡 Dica: Calcule as áreas das faces antes e depois da divisão para comparar a tinta necessária.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calculou a área das faces de corte usando uma medida de diagonal maior do que a real, ou somou a área de corte mais de uma vez, inflando o aumento.
Por que engana: confundir área total com área lateral ou esquecer faces internas após divisão
O aluno provavelmente achou que a divisão não gera superfície nova e considerou apenas a mudança nas faces triangulares, ignorando que as faces de corte passam a ser externas.
O aluno provavelmente tomou a diagonal de uma face lateral em vez da diagonal da base no cálculo da área de corte, o que altera o resultado.
Correta. Ao dividir o paralelepípedo, são criadas duas novas superfícies (diagonais), que aumentam a área externa. Comparando a área total de pintura antes (área total do paralelepípedo) e depois (área total das faces externas dos dois prismas), o novo total é cerca de 26% maior. Isso ocorre porque a soma das áreas dessas duas novas faces (criadas pelo corte) equivale aproximadamente a 26% da área original do paralelepípedo.
O aluno provavelmente esqueceu um par de faces do paralelepípedo original ao calcular o total de tinta antes da divisão, o que altera o denominador da razão.
Raio-X da questão
área superficial de prismas
avaliacao
área superficial de prismas · propriedades de paralelepípedos
estude cálculo de área superficial de prismas e paralelepípedos
confundir área total com área lateral ou esquecer faces internas após divisão
pensamento_critico
abstrato
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