Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 = log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 = log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a [FUVEST 2011 - Questão 23] FUVEST - 2011
- A) 13 / 2
- B) 15 / 2
- C) 17 / 2
- D) 19 / 2
- E) 21 / 2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Seja t = log2 x. Como x > 0, t é um número real bem definido. Passo 2: Escreva cada termo em função de t usando mudança de base para base 2. Para a1: a1 = log2 x = t. Para a2: log4(4x) = log2(4x) / log2(4) = (2 + t) / 2. Para a3: log8(8x) = log2(8x) / log2(8) = (3 + t) / 3. Passo 3: Como a sequência é uma progressão aritmética, vale a condição 2·a2 = a1 + a3. Substituindo: 2·(2 + t)/2 = t + (3 + t)/3, ou seja, 2 + t = t + 1 + t/3. Passo 4: Simplificando, 2 = 1 + t/3, logo t/3 = 1 e t = 3. Assim log2 x = 3, ou seja, x = 8. Passo 5: Calcule os termos com x = 8: a1 = 3, a2 = (2 + 3)/2 = 5/2 e a3 = (3 + 3)/3 = 2. Confira que a sequência 3, 5/2, 2 é de fato uma progressão aritmética de razão -1/2. Passo 6: Some: a1 + a2 + a3 = 3 + 5/2 + 2 = 15/2. Passo 7: A alternativa correta é a B, 15/2, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (13/2) não corresponde a nenhum dos valores obtidos com x = 8; C (17/2), D (19/2) e E (21/2) também resultam de somas que não batem com os termos 3, 5/2 e 2.
💡 Dica: Use a definição de progressão aritmética e propriedades de logaritmos para montar uma equação e resolver.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tratou log4(4x) como 1 + log2 x, sem dividir por 2 a parte log4 x, o que altera a condição da progressão aritmética e o valor de x.
Por que engana: Confundir a soma dos logaritmos com a multiplicação, resultando em um valor incorreto para a soma total.
Incorreta. A soma não é 15/2.
Pode ter errado a mudança de base de log8(8x), escrevendo (3 + t) sem dividir por 3, ou calculado a soma com algum termo deslocado.
Possivelmente achou x corretamente mas somou incorretamente os termos, por exemplo tomando a2 como 3 em vez de 5/2.
Provavelmente assumiu que a condição de progressão aritmética era a2 - a1 = a3 - a2 com termos mal calculados, ou confundiu o valor de log4(4x) com log4(x) + 1 sem o devido ajuste de base.
Raio-X da questão
progressão aritmética, logaritmos
avaliacao
propriedades de logaritmos · progressão aritmética
Revisar propriedades de logaritmos e definição de progressão aritmética.
Confundir a soma dos logaritmos com a multiplicação, resultando em um valor incorreto para a soma total.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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