MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que a1 > 0 e a6 = -9v3. Além disso, a progressão…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que a1 > 0 e a6 = -9v3. Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2 a7 vale [FUVEST 2008 - Questão 33] FUVEST - 2008

A) -27v3
B) -3v3
C) -v3
D) 3v3
E) 27v3

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Escreva o termo geral da PG de primeiro termo a1 e razão q: an = a1 * q^(n-1). Assim, a6 = a1 * q^5 = -9v3 (ou seja, -9 raiz de 3).
A PG formada por a1, a5, a9, ... tem razão q^4 (a5 = a1 q^4, a9 = a1 q^8, e a razão é a5/a1 = q^4). Como essa razão vale 9, temos q^4 = 9, logo q^2 = 3 e q = v3 ou q = -v3.
Use o sinal de a6. Como a1 > 0, a6 = a1 * q^5 é negativo, então q^5 deve ser negativo, o que exige q < 0. Logo q = -v3.
Determine a1. Substituindo em a6: a1 * (-v3)^5 = a1 * (-9v3) = -9v3, portanto a1 = 1.
Calcule o produto pedido. a2 = a1 * q e a7 = a1 * q^6, então a2 * a7 = a1^2 * q^7 = 1 * (-v3)^7 = -(v3)^7. Como (v3)^7 = 3^3 * v3 = 27v3, temos a2 * a7 = -27v3.
Conclusão. A alternativa correta é a A, de acordo com o gabarito oficial. A alternativa B (-3v3) está errada porque é apenas q^3, com expoente incorreto. A alternativa C (-v3) está errada porque é apenas q, sem considerar os expoentes corretos. A alternativa D (3v3) está errada por combinar sinal positivo com expoente incorreto. A alternativa E (27v3) está errada porque tem o módulo certo, mas o sinal errado, já que ignora que a6 é negativo.

💡 Dica: Use as propriedades da progressão geométrica para relacionar os termos e encontrar o produto solicitado.

Alternativa por alternativa

A Correta

Incorreta. O produto calculado é maior que o valor correto.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Calculou corretamente q = -v3, mas tratou o produto como q^3, subtraindo índices (7 - 4 = 3) em vez de somar os expoentes que resultam de a2 * a7 = a1^2 * q^7.

Por que engana: Confundir a relação entre os termos da PG, aplicando incorretamente a fórmula do produto dos termos.

C Erradaerro: Procedimental

Obteve apenas a razão q = -v3 e a deu como resposta, sem elevar a potência correta para o produto a2 * a7, que exige q elevado a 7.

D Erradaerro: Senso comum

Ignorou a condição de que a6 é negativo e tomou q = +v3, além de calcular a potência incorretamente como q^3, chegando a 3v3.

E Erradaerro: Atenção

Calculou corretamente o módulo (v3)^7 = 27v3, mas tomou a razão positiva q = +v3, ignorando que a6 = -9v3 exige q negativo e, portanto, um produto negativo.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

progressão geométrica, razão, produto de termos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

progressão geométrica · razão da PG

📚 Reveja

Revisar definição e propriedades de progressão geométrica e cálculo de termos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre os termos da PG, aplicando incorretamente a fórmula do produto dos termos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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