Projete e descreva um algoritmo, implementável em planilha ou em Python, que ajuste um polinômio de 2º grau…

Questão

Projete e descreva um algoritmo, implementável em planilha ou em Python, que ajuste um polinômio de 2º grau por mínimos quadrados a um conjunto de n = 3 medições (xi, yi). Explique como validar o ajuste e como usar o modelo para prever valores novos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Procedimento modelo: 1) Construir matriz de projeto X com linhas [xi^2, xi, 1] e vetor y com yi. 2) Calcular normal equations: (X^T X) ß = X^T y e resolver ß = (a,b,c) = (X^T X)^{-1} X^T y. Em termos de somatórios: monte as somas Sxi^4, Sxi^3, Sxi^2, Sxi, S1, Sxi^2 yi, Sxi yi, Syi e resolva o sistema 3×3. 3) Implementação em Python: usar numpy.linalg.lstsq(X,y) ou numpy.matmul/numpy.linalg.inv; em planilha usar LINEST(yi; {xi^2, xi,1}) ou combinar MMULT e MINVERSE. 4) Validação: analisar resíduos (yi - p(xi)), calcular R², visualizar gráfico de dispersão com curva ajustada e usar validação cruzada simples (dividir dados treino/teste). 5) Predição: para novo x, computar p(x)=a x^2 + b x + c; reportar intervalo de confiança estimado a partir dos resíduos. Observações: tratar multicolinearidade escalando xi se necessário e verificar outliers antes do ajuste.

Explicação

O procedimento descrito fornece um método estruturado para ajustar um polinômio de 2º grau a um conjunto de dados, utilizando a técnica de mínimos quadrados, que é amplamente reconhecida por sua eficácia em modelagem estatística. A validação do ajuste é essencial para garantir a qualidade do modelo, permitindo a análise dos resíduos e a verificação do desempenho preditivo. A abordagem também inclui a previsão de novos valores, o que demonstra a aplicabilidade prática do modelo ajustado.

Raio-X da questão

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