No plano cartesiano, considere o quadrilátero com vértices A(-1,0), B(5,4), C(9,-2) e D(3,-6). a) Calcule os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, considere o quadrilátero com vértices A(-1,0), B(5,4), C(9,-2) e D(3,-6). a) Calcule os pontos médios M_AC e M_BD e verifique se coincidem. b) Calcule as distâncias AB, BC, CD e DA, e determine o perímetro e a área do quadrilátero. Apresente todos os cálculos.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
a) M_AC = ((-1+9)/2, (0+(-2))/2) = (4,-1). M_BD = ((5+3)/2, (4+(-6))/2) = (4,-1). Ambos coincidem no ponto (4,-1), logo as diagonais têm ponto médio comum. b) Distâncias: AB: ?x=6, ?y=4 ? AB²=36+16=52 ? AB=v52. BC: ?x=4, ?y=-6 ? BC²=16+36=52 ? BC=v52. CD: ?x=-6, ?y=-4 ? CD²=36+16=52 ? CD=v52. DA: ?x=-4, ?y=6 ? DA²=16+36=52 ? DA=v52. Todos os lados têm comprimento v52, portanto o quadrilátero é um losango. Observando os vetores das diagonais AC=(10,-2) e BD=(-2,-10), seu produto escalar é 10·(-2)+(-2)·(-10)= -20+20=0, então as diagonais são perpendiculares. Como lados iguais e diagonais perpendiculares e de mesmo comprimento, trata-se de um quadrado. Perímetro = 4·v52 = 4v52 = 8v13 ˜ 28,84. Área: pode-se usar lado² ? (v52)² = 52, ou diagonais: (d1·d2)/2 = (v104·v104)/2 = 104/2 = 52. Portanto a área é 52 unidades².
Explicação
Os cálculos dos pontos médios M_AC e M_BD mostram que as diagonais se cruzam em um único ponto, indicando que o quadrilátero é simétrico. As distâncias entre os vértices revelam que todos os lados são iguais, e a verificação do produto escalar das diagonais confirma que elas são perpendiculares, caracterizando o quadrilátero como um quadrado. O perímetro e a área foram corretamente calculados usando as propriedades dos lados e das diagonais, resultando em valores consistentes com a forma geométrica identificada.
Raio-X da questão
perímetro e área de quadrilátero
avaliacao
distância entre pontos · cálculo de área
Revisar fórmulas de distância entre pontos e cálculo de área.
O aluno pode confundir a fórmula da distância entre pontos, resultando em valores incorretos para as distâncias e, consequentemente, para o perímetro e a área.
ciencia_tecnologia
autogestao
cientifico
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