No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto é em C, com AC = 9 cm e BC = 12 cm. Sobre a hipotenusa AB escolhe-se…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto é em C, com AC = 9 cm e BC = 12 cm. Sobre a hipotenusa AB escolhe-se um ponto D e traça-se DE paralela a BC, encontrando E em AC. Determine a posição de D (medida AD) de modo que a área do triângulo ADE seja 1/4 da área do triângulo ABC. Apresente todos os cálculos e justifique usando semelhança de triângulos.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Primeiro calcule AB usando Pitágoras: AB = v(AC² + BC²) = v(9² + 12²) = v(81+144) = v225 = 15 cm. Como DE ? BC, os triângulos ADE e ABC são semelhantes; seja k = AD/AB = AE/AC. A razão das áreas é k², logo k² = 1/4 ? k = 1/2. Logo AD = (1/2)·AB = 7,5 cm e AE = (1/2)·AC = 4,5 cm. Conclusão: AD = 7,5 cm (posição de D sobre AB a 7,5 cm de A) e AE = 4,5 cm; a razão linear é 1/2 que garante área igual a 1/4 por semelhança.
Explicação
A solução utiliza o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa e, em seguida, aplica a semelhança de triângulos para relacionar as áreas. A razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é igual ao quadrado da razão entre os lados correspondentes, resultando em uma razão linear de 1/2. Assim, a posição de D é determinada como 7,5 cm de A, garantindo que a área de ADE seja 1/4 da área de ABC.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · área de triângulos
Revisar as propriedades de semelhança de triângulos e cálculo de áreas.
O aluno pode confundir a relação entre as áreas dos triângulos e a proporção dos lados, não aplicando corretamente a semelhança para encontrar a medida correta de AD.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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