No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altitude CH até a hipotenusa AB mede 12 cm e AB = 26 cm. Determine…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altitude CH até a hipotenusa AB mede 12 cm e AB = 26 cm. Determine os comprimentos dos catetos AC e BC.
- A) AC = AB + CH = 26 + 12 = 38 cm
- B) BC = 12 + 26 = 38 cm
- C) AH = 18 cm, HB = 8 cm; AC = v(AB·AH) = v(26·18) = 6v13 cm; BC = v(AB·HB) = v(26·8) = 4v13 cm.
- D) AH = 12 + 8 = 20 cm
- E) AC = AB · CH = 26 · 12 = 312 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Trace o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C. A altura CH divide a hipotenusa AB em dois segmentos, AH e HB, com AH + HB = 26 cm. Passo 2: Use a relação métrica CH^2 = AH · HB, ou seja, 144 = AH · HB. Passo 3: Temos então AH + HB = 26 e AH · HB = 144. Os números são raízes de t^2 - 26t + 144 = 0, cujo discriminante é 676 - 576 = 100. Logo t = (26 ± 10)/2, resultando em 18 e 8. Portanto AH = 18 cm e HB = 8 cm (ou o contrário, dependendo da nomeação dos vértices). Passo 4: Em um triângulo retângulo, cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. Assim AC^2 = AB · AH = 26 · 18 = 468, e AC = raiz de 468 = 6 raiz de 13 cm. Também BC^2 = AB · HB = 26 · 8 = 208, e BC = raiz de 208 = 4 raiz de 13 cm. Passo 5: Confira: AC^2 + BC^2 = 468 + 208 = 676 = 26^2, e AC · BC = 24 · 13 = 312 = AB · CH = 26 · 12. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A soma de AB com CH não tem relação com os catetos. B soma CH com AB de forma igualmente sem sentido. D soma a altura com um segmento, mas AH não é 12 + 8, pois a altura não se soma à projeção. E multiplica a hipotenusa pela altura, o que dá o produto dos catetos, e não o valor de um cateto isolado. Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Utilize a relação entre a altura e os catetos em um triângulo retângulo.
Alternativa por alternativa
Acredita que o cateto AC é a soma da hipotenusa com a altura, tratando segmentos com papéis geométricos diferentes como se pudessem ser somados.
Por que engana: Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente as fórmulas de cálculo.
Supõe que o cateto BC é a soma da altura com a hipotenusa, sem usar nenhuma relação métrica do triângulo retângulo.
Com AH+HB=AB=26 e AH·HB=CH²=144, resolvem-se t²-26t+144=0 ? t=18 e 8. Usando AC²=AB·AH e BC²=AB·HB obtêm-se AC=6v13 e BC=4v13.
Confunde a altura com um segmento da hipotenusa e soma CH com HB para obter AH, quando AH é uma projeção que deve ser obtida pela relação CH^2 = AH · HB.
Lembra que AC · BC = AB · CH, mas usa o produto da hipotenusa pela altura como se fosse o valor de um único cateto, ignorando que AC é a raiz de um produto e não o produto em si.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a relação entre catetos e altura.
Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente as fórmulas de cálculo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
Questões parecidas com resolução
- Uma lavanderia vai instalar um trilho diagonal para separar duas áreas retangulares do piso. O espaço reservado tem…
- Em um estúdio de gravação hipotético, duas paredes retangulares serão revestidas com painéis para reduzir a reverberação…
- Em uma ilha, uma equipe planeja uma área retangular para instalar equipamentos de monitoramento. O contorno terá 70 m de…
- Em um planetário, uma área quadrada do piso será revestida para uma atividade. Na primeira proposta, cada lado mede 6 m…
- Um projeto de estufa prevê um canteiro retangular com 7 m de comprimento. A largura será aumentada de 3 m para 5 m…
- Em uma oficina de serigrafia, uma placa em formato de paralelogramo tem base de 9 cm, lado inclinado de 6 cm e altura…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog