Para estimar a altura de uma árvore em uma área de restauração da Mata Atlântica, estudantes posicionaram um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para estimar a altura de uma árvore em uma área de restauração da Mata Atlântica, estudantes posicionaram um teodolito a 100 m do tronco, em terreno plano. O aparelho foi instalado na mesma altura da base da árvore e registrou um ângulo de 45° entre a linha horizontal e a linha de visada até o topo. Considere que tan(45°) = 1. Com base nesses dados, qual é a altura estimada da árvore?
- A) 200 m
- B) 100 m
- C) 57,7 m
- D) 70 m
- E) 50 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo. O teodolito está a 100 m do tronco, no mesmo nível da base da árvore. Assim, a distância horizontal (cateto adjacente ao ângulo) é 100 m e a altura medida a partir do nível do aparelho (cateto oposto) é a altura da árvore.
- Escolha a razão trigonométrica. Como o ângulo é formado entre a horizontal e a linha de visada até o topo, relacionamos cateto oposto e cateto adjacente pela tangente: tan(ângulo) = altura / distância.
- Monte a equação. tan(45°) = altura / 100. Como tan(45°) = 1, temos altura / 100 = 1.
- Resolva. Altura = 1 x 100 = 100 m.
- Compare com o gabarito. O resultado 100 m corresponde à alternativa B, que é o gabarito oficial, e foi obtido sem depender dele.
- Por que as outras estão erradas: A) 200 m dobra a distância, o que não corresponde a tan(45°) = 1; C) 57,7 m usa tan(30°), que vale cerca de 0,577, e não o ângulo dado; D) 70 m aproxima 100 x sen(45°), usando seno em vez de tangente; E) 50 m divide a distância pela metade, sem qualquer base na relação trigonométrica.
💡 Dica: Use a fórmula da tangente para encontrar a altura.
Alternativa por alternativa
O estudante provavelmente dobrou a distância, achando que a altura equivale ao dobro do cateto conhecido ou somando duas vezes a distância ao ângulo de 45°.
Por que engana: Confundir a relação entre a tangente e a altura, utilizando a distância em vez do ângulo corretamente.
A tangente do ângulo é dada pela razão entre a altura da árvore e a distância horizontal até sua base: tan(45°) = h/100. Como tan(45°) = 1, então 1 = h/100, resultando em h = 100 m.
O estudante provavelmente usou tan(30°), cujo valor aproximado é 0,577, em vez de tan(45°) = 1, confundindo o ângulo dado ou lendo o ângulo errado.
O estudante provavelmente usou o seno do ângulo (100 x sen 45° ≈ 70,7 m) em vez da tangente, trocando a razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e adjacente.
O estudante provavelmente dividiu a distância pela metade, supondo que o ângulo de 45° reduz o comprimento à metade, sem aplicar a relação tangente = altura / distância.
Raio-X da questão
altura de estrelas
avaliacao
tangente e triângulos · medidas angulares
Revisar a relação entre ângulos e tangente em triângulos retângulos.
Confundir a relação entre a tangente e a altura, utilizando a distância em vez do ângulo corretamente.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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