Durante o planejamento de um edifício em uma área de expansão urbana, um arquiteto mediu uma sombra projetada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante o planejamento de um edifício em uma área de expansão urbana, um arquiteto mediu uma sombra projetada pelo prédio sobre um terreno plano. A sombra tinha 10 metros de comprimento. No instante da medição, os raios solares formavam um ângulo de 30° com o solo. Considerando o prédio perpendicular ao terreno, a situação pode ser representada por um triângulo retângulo, cuja altura corresponde à altura do prédio e cujo cateto horizontal mede 10 metros. Com base nessas informações, qual é a altura do prédio, em metros?
- A) 10 metros
- B) 5√3 metros
- C) 10√3 metros
- D) 10√3/3 metros
- E) 20 metros
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo. O cateto horizontal é a sombra, com 10 metros. O cateto vertical é a altura h do prédio, que está oposto ao ângulo de 30° formado pelo raio solar com o solo, no ponto da extremidade da sombra.
- Escolha a razão trigonométrica certa. Como conhecemos o cateto oposto (h) e o cateto adjacente (10 m) ao ângulo de 30°, usamos a tangente: tan(30°) = cateto oposto / cateto adjacente = h / 10.
- Use o valor de tan(30°), que é √3/3 (ou 1/√3). Logo, h = 10 · tan(30°) = 10 · √3/3 = 10√3/3 metros, aproximadamente 5,77 m.
- Conclusão. A alternativa D é a correta, e o gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas. A) 10 m supõe que tan(30°) vale 1, o que só ocorre com ângulo de 45°. B) 5√3 m corresponde a 10 · cos(30°), ou seja, usa a razão errada. C) 10√3 m usa tan(60°) = √3 no lugar de tan(30°), trocando o ângulo pelo seu complemento. E) 20 m resulta de multiplicar a sombra por 2, sem qualquer relação com a razão trigonométrica do ângulo de 30°.
💡 Dica: Utilize a tangente do ângulo para calcular a altura.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que a altura é igual à sombra, como se o triângulo fosse isósceles. Isso só valeria para um ângulo de 45°, e não para o de 30° informado.
O aluno usa o cosseno de 30° (equivalente ao seno de 60°) para o cateto oposto, o que inverte a relação entre o ângulo e os catetos.
O aluno confunde o ângulo de 30° com o de 60° e aplica tan(60°) = √3, obtendo 10√3 m.
No triângulo retângulo, a altura do prédio é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e a sombra é o cateto adjacente. Assim, tg(30°) = altura/10. Como tg(30°) = √3/3, temos altura = 10 · √3/3 = 10√3/3 metros.
O aluno dobra a sombra ou usa 1/sen(30°) = 2 de forma indevida, sem montar a relação tangente entre altura e sombra.
Raio-X da questão
altura de um prédio
avaliacao
triângulos retângulos · seno e cosseno
Revisar a relação entre ângulos e triângulos retângulos.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando a tangente em vez do seno.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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