Durante um levantamento para o cadastro de árvores de uma praça urbana, uma equipe posicionou um teodolito no…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante um levantamento para o cadastro de árvores de uma praça urbana, uma equipe posicionou um teodolito no mesmo nível do solo situado na base de uma árvore. O aparelho foi colocado a 50 m da base da árvore, em terreno plano, e apontado para o topo. O ângulo de elevação registrado entre a linha horizontal e a linha de visada foi de 60°. Despreze a altura do aparelho e considere tan 60° ˜ 1,732. Com base nesses dados, qual é a altura aproximada da árvore?
- A) 25,0 m
- B) 86,6 m
- C) 28,9 m
- D) 57,7 m
- E) 50,0 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo formado pela distância até a árvore (cateto adjacente, 50 m), pela altura da árvore (cateto oposto, h) e pela linha de visada (hipotenusa). O ângulo de elevação de 60° está entre o chão e a visada. Passo 2: Como o aparelho está no nível do solo e a altura do teodolito é desprezada, a altura da árvore é exatamente o cateto oposto ao ângulo de 60°. Passo 3: Use a relação da tangente: tan(60°) = cateto oposto / cateto adjacente = h / 50. Passo 4: Isole h: h = 50 × tan(60°) = 50 × 1,732 = 86,6 m. Passo 5: Conclusão: a altura aproximada da árvore é 86,6 m, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (25,0 m) resulta de multiplicar a distância por 0,5, que é o valor do cosseno de 60°, e não da tangente. C (28,9 m) resulta de dividir 50 por 1,732, invertendo a operação correta. D (57,7 m) resulta de dividir 100 m (distância dobrada) por 1,732, o que não corresponde aos dados. E (50,0 m) supõe que a tangente de 60° vale 1, valor que vale apenas para 45°.
💡 Dica: Utilize a tangente do ângulo de elevação para calcular a altura.
Alternativa por alternativa
O aluno confundiu a tangente de 60° com o cosseno ou com a metade da distância, multiplicando 50 m por 0,5.
A situação forma um triângulo retângulo, em que a distância horizontal de 50 m é o cateto adjacente ao ângulo de 60°, e a altura da árvore é o cateto oposto. Portanto, tan 60° = altura/50. Assim, altura = 50 × 1,732 = 86,6 m.
O aluno sabe que deve usar a tangente, mas inverte a operação e divide 50 m por 1,732 em vez de multiplicar.
O aluno dobrou a distância para 100 m, possivelmente imaginando a distância até o topo ou a visada completa, e depois dividiu pela tangente.
O aluno assumiu que a altura é igual à distância da base, ou seja, que a tangente de 60° é igual a 1, valor que pertence ao ângulo de 45°.
Raio-X da questão
altura de uma árvore
avaliacao
trigonometria básica · funções trigonométricas
Revisar o uso de teodolito e cálculo de alturas usando trigonometria.
Confundir a relação entre o ângulo de elevação e a altura, utilizando a tangente de forma incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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